Т1 Если степенной ряд 
(1) имеет радиус сходимости R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |x|<=r, 0<r<R (2) (или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала сходимости ряд (1) сходится равномерно.
Для ряда 
отрезком равномерной сходимости будет отрезок |x-x0|<=r или ([x0-r,x0+r])
Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.
Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов× (5), 
(6), 
(7) равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд.
Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда (9)
Т4 Дифференцирование степенного ряда
Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9):
f’(x)= 
При этом радиус сходимости полученного ряда = R
Т5 О интегрировании степенного ряда
Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.
Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется, однако на концах интервала может изменяться.
16 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть (1) сходится при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1).
Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то 
и справедлива формула: 
(15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.
Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд: 
(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0
При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:
(6’) и называется ряд Маклорена.
Ряд Тейлора может:
1 Расходится всюду, кроме х=х0
2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.
3 Сходится к исходной ф-ции f(x)
Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.
Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x Î (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:
где остаток rn(x) можно записать:
(8)
(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f(n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.
17 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)
1Разложение ф-ции ех
ряд Маклорена.
радиус сходимости:
R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена
сходится на всей числовой оси
сходится на всей числовой оси
3. f(x) = (1+x)a
Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая:
1- a Î N, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона: 
, где 
биномиальный коэффициент.
2- a Î R>N (a ¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1
4 Разложение ф-ции ln(1+x)
сходится при –1<x<=1
5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена
сходится при -1<=x<=1