к.т.н., доцент кафедры «Высшая математика и прикладная информатика»
Самарского государственного технического университета, г. Самара.
E-mail: smirnovamilan@mail.ru
В статье обозначены теоретические аспекты математической модели задачи оптимального выбора благ потребителя, а так же рассмотрены порядковые теории полезности. Была приведена и решена задача на расчет оптимального набора потребителя, и выявлено оптимальное решение.
Ключевые слова: математическая модель, рыночный спрос, полезность, оптимальный выбор, блага потребителя.
Наиболее распространенной в настоящее время является порядковая теория полезности. В основе моделей потребительского поведения и спроса находятся модели распределения доходов и теория полезности. В основе построения моделей личного потребления лежит принцип распределения потребителей по группам, для формирования которых используются данные о социальном положении семей и сведения об их доходах. Основой всей современной экономической науки является макроэкономика. Ее главная задача - выяснение того: как принимают решения и ведут себя субъекты хозяйственной деятельности - отдельные потребители (домашние хозяйства) и производители (предприятия), которые имеют специфические стимулы (интересы) и руководствуются определенными принципами; как устанавливаются на рынке цены на различные блага и услуги; как, исходя из цен, осуществляется распределение ресурсов.
Рыночный спрос определяется на базе решений, которые принимаются множеством отдельных лиц исходя из их потребностей и располагаемых доходов. Но чтобы распределить средства между разнообразными потребностями, необходимо их как-то сопоставить. В качестве основы для сопоставления в настоящее время принято понятие «полезность». Существует два подхода к сравнению и соизмерению полезности различных благ: количественный и порядковый. Наиболее распространенной в настоящее время является порядковая теория полезности. Количественный подход к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения полезности различных благ в гипотетических единицах – ютилах (utility – полезность). Следует иметь в виду, что количественные оценки полезности того или иного товара имеют исключительно индивидуальный, субъективный характер. Один и тот же товар может представлять большую ценность для одного потребителя и никакой ценности для другого. Невозможно также сравнить размеры удовольствия, получаемые различными потребителями. Предполагается, что только конкретный потребитель может дать количественную оценку в ютилах полезности любого потребляемого им товарного набора. Количественная функция общей полезности (TU), вначале возрастающая, имеет точку максимума (S), после которой она становится убывающей. Для конкретных потребителей очень важно почувствовать точку максимума полезности и прекратить избыточное потребление благ. Поэтому и говорят, что самое ценное чувство – это чувство меры. Предельная полезность (MU) - это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу:
Теория оптимального выбора потребителя исходит из того, что он осуществляет право сравнения и свободного выбора на некотором множестве
Х потребительских наборов, в каждый из которых включаются все виды продукции, являющиеся предметами потребления для данной группы семей. Не умаляя общности можно считать, что всякий такой набор состоит из фиксированного числа (n) элементов и имеет вид: X= (х1, …, хj, …, xn),
где элементы хj ≥ 0, поскольку они выражают количество потребляемой продукции.
От потребителя не требуется, чтобы он умел сопрягать блага в каких-то искусственных единицах измерения. Достаточно, чтобы потребитель был способен упорядочить все возможные товарные наборы по их «предпочтительности». В порядковой теории полезности понятие «полезность» означает не что иное, как порядок предпочтения. Утверждение «Набор А предпочтительнее для данного потребителя, чем набор В» - то же самое, что и утверждение «Набор А полезнее для данного потребителя, чем набор В». Вопрос, на сколько единиц полезнее набор А, чем набор В, не ставится. Потребитель выбирает предпочтительный набор товаров из всех доступных для него.
Рассматривается постановка задачи оптимального выбора потребителя по критериям: 1)оптимальным считается набор, который является «наиболее предпочтительным» среди всех неотрицательных векторов, удовлетворяющих бюджетному ограничению; 2)оптимальный набор соответствует наибольшему значению u(x), что является решением задачи. Анализируя задачи оптимального выбора применяется еще одно не менее важное предположение теории потребления, которое носит название гипотезы ненасыщения потребителя. Это означает, что для «ненасыщаемого» потребителя всякий набор X, который содержит любого продукта столько же либо (хотя бы по одной позиции) несколько больше, чем набор у, оказывается более предпочтительным. Функция полезности является монотонно возрастающей по каждому аргументу. Проблема компенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях, когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. При этом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из них использует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается на понятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставить спрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом, применяется функция спроса:
D = D (I, p)
где: I - исходный уровень дохода; р - исходный уровень цены.
Относительное увеличение дохода должно быть пропорционально
относительному изменению цены с коэффициентом пропорциональности, равным отношению эластичностей этих факторов.
Функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости, если все товары являются взаимозаменяемыми. Нетрудно видеть, что в этом случае повышение цены на один товар приводит к снижению спроса только на этот товар, но увеличивает спрос на все остальные. Однако при этом получается слишком высокий уровень компенсации, поскольку повысится потребление практически всех товаров. Рассмотрена задача расчета оптимального набора потребителя при введенных обозначениях: Х – блага Р-цена I- доход MU- предельная полезность. Потребитель свой располагаемый доход в размере 900 руб. тратит на приобретение мяса и картофеля. Стоимость продуктов питания: Рm = 150 руб. за 1 кг; Рk= 30 руб. за 1 кг.
Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности:
Насколько изменится оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:
Оптимальный набор потребителя должен удовлетворять условию второго закона Госсена:
= 
Найдём предельную полезность мяса и картофеля как частные производные от общей полезности:
На основе формулы 
получим уравнение бюджетного ограничения: 900 = 150*хm + 3*хk
Составим и решим систему уравнений:
Таким образом, можем сделать вывод что, оптимальный набор потребителя состоит из 15 кг картофеля и 3 кг мяса кефира. Таким образом, выбор конкретной модели распределения доходов, а следовательно, и способ формирования доходных групп определяются в результате анализа данных о доходах потребителей в рассматриваемом обществе или регионе.
Список использованной литературы
1. Косоруков О.А., Мищенко А.В. «Исследование операций», Москва, 2003,448 с.
2. М.А..Евдокимов, Л.Н.Смирнова, Т.А.Бенгина и др. Исследование операций. Линейное программирование. Динамическое программирование. Элементы теории игр, Сетевое планирование. Учебное пособие.-Самар.гос.техн.ун-т.самара,2014-164 с.