Свойства ДПФ
Свойства ДПФ аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье, однако дискретный характер привносит некоторую специфику
Линейность, задержка – данные свойства аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье.
Симметрия. Подобно спектру непрерывного вещественного сигнала, спектр ДПФ так же обладает свойством симметрии
Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая) представляет собой сумму отсчетов последовательности на одном периоде:
Если N четно, то амплитуда гармоники с номером N/2 является суммой отсчетов с чередующимися знаками
Спектр является "сопряженно-симметричным" относительно N/2, т. е. содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. В самом
деле, исходная последовательность представляется набором из N вещественных чисел. Спектр же представляется набором из N/2 (вторая половина взаимно однозначно связана с первой) комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Если же исходная последовательность {x(k)} не является вещественной, симметрия спектра отсутствует и N комплексным отсчетам во временной области соответствует N комплексных отсчетов в спектральной области.
ДПФ произведения последовательностей
Возьмем две последовательности отсчетов {x1(k)} и {x2(k)} одинаковой длины N и вычислим результат их поэлементного умножения:
y(k) = x1(k)x2(k)
Если применить ДПФ, то получится спектр 
Это выражение представляет собой круговую свертку спектров X1(n) и X2(n)
Итак, как и для непрерывного преобразования Фурье, спектр произведения является сверткой спектров.
Свертка функций
В дискретном случае различают два вида сверток: линейную (или апериодическую) и циклическую. Циклическую свертку еще часто называют круговой или периодической.
Круговая свертка
Рассмотрим циклическую свертку. В случае циклической свертки предполагается, что дискретные сигналы 
и 
- периодические с одинаковым периодом 
отсчетов. Тогда круговой сверткой сигналов и называется сигнал вида:
|
Результат циклической свертки также имеет длину отсчетов.
Рассмотрим циклическую свертку на примере двух сигналов 
и 
. Графически вычисление циклической свертки представлено на рисунке 3.
Красной линией отмечены границы периодов повторения сигнала 
. Заметим, что в силу периодичности сигналов 
.
Вычислим свертку пошагово:
Теперь рассчитаем 
:
Аналогично можно рассчитать 
и 
.
Линейная свертка
Рассмотрим линейную свертку. Пусть имеется два дискретных сигнала 
, 
, и 
, 
. В общем случае длины этих сигналов 
и 
могут отличаться. Линейной сверткой сигналов и называется дискретный сигнал вида:
Для вычисления линейной свертки сигналы и сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что 
при 
и 
, а также 
при и 
пример вычисления линейной свертки двух сигналов длиной 4 отсчета и 
длиной 3 отсчета.
Связь циклической и линейной свертки
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов и длительностью 
и отсчетов соответственно дополнить нулями до длины 
.
Приведем пример вычисления линейной свертки через циклическую для длиной 4 отсчета и длиной 3 отсчета (этот пример был рассмотрен выше).
Дополним нулями 
и 
, так чтобы в каждой последовательности было по 6 отсчетов.
Вычислим циклическую свертку как это показано на рисунке
Можно сравнить с результатом самого первого примера для линейной свертки и убедится в том, что значения совпадают
Заключение к подразделу: Для чего нужно различать два вида сверток? При преобразовании Фурье, мы получаем математический аналог циклической свертки. Связанно это с тем, что циклическая свертка получается при сворачивании периодических сигналов. А спектр дискретного сигнала по определению – периодический.
При этом, при анализе линейных стационарных систем, выходной сигнал таких систем есть линейная свертка входного сигнала и импульсной характеристики ЛС системы.
Матрица ДПФ
ДПФ имеет вид 
С другой стороны, ДПФ является линейным преобразованием, трансформирующим вектор временных отсчетов в вектор такой же длины, содержащий отсчеты спектральные. Такое преобразование может быть реализовано как умножение некоторой квадратной матрицы на входной вектор-столбец:
У = А Х
где A — матрица преобразования (матрица поворотных множителей). В случае ДПФ эта матрица имеет вид
Общая формула для элемента матрицы, расположенного в n-м столбце m-й строки, выглядит так:
Вычисление ДПФ путем умножения матрицы на вектор полностью соответствует формуле ДПФ. Этот метод требует большого количества вычислительных операций, поэтому на практике вместо него применяются быстрые алгоритмы преобразования Фурье БПФ.