История открытия формулы Кардано

Формула Кардано: история и применение

 

Выполнил: Ефременко Назар,

ученик 9 а класса

 

Руководитель: Биканова Ирина Васильевна

учитель высшей категории

 

 

п. Депутатский, 2015г

 

Содержание:

1) Введение ……………………………………………………………………...3

2) История открытия формулы Кардано………………………………………4-10

3) Теоретическая часть: поиск формулы решения кубических уравнений..11-13

4) Практическая часть………………………………………………………….14-17

5) Заключение…………………………………………………………………..18

6) Литература……………………………………………………………….…..19

 

Введение

Изучая математику на профильном и углубленном уровне, выполняя олимпиадные задания, мы часто встречаем уравнения третьей и более высоких степеней. Кроме этого, многие практические задачи сводятся к решению различных видов уравнений.

Для решения некоторых видов уравнений имеются определенные способы, алгоритмы, например, линейных уравнений первой степени, квадратных и биквадратных уравнений. Правила решений алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения частных видов.

В школьном курсе математики, для решений целых уравнений третьей и более высоких степеней рассмотрены некоторые способы: разложение на множители с помощью теоремы Безу, выполнение алгебраических преобразований. И меня заинтересовало: существует ли формула для решения уравнений высоких степеней, как формула для решения квадратных уравнений. Пытались ли математики отыскать общую формулу для решения кубических уравнений, составить своего рода алгоритм порядка алгебраических действий с коэффициентами, чтобы получить корни? Получено ли выражение корней через коэффициенты уравнения?

Цель настоящей работы - изучить способы решения кубических уравнений, установить факт существования формулы для нахождения корней уравнения третьей степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.

Для достижения цели я поставил следующие задачи:

1. изучить историю науки решения кубических уравнений, труды ее создателей;

2. провести хронологию исторических событий, связанных с открытием формулы Кардано;

3. доказать практическим путем актуальность применения формулы решения уравнений третьей степени.

Моя работа состоит из IV частей: первая – введение – рассказывает о целях и задачах работы; во второй части рассматриваются теоретические и практические вопросы применения формулы Кардано; в третьей части я подвожу итоги своей работы.

История открытия формулы Кардано

Людские заблуждения. Полна

История гигантских лжеоткрытий.

Какая паутина соткана

Из представлений, этих тонких нитей.

О, сколько тут прогнозов и афер!

О, сколько тут напущено тумана!

Тут Саваоф и страшный Люцифер,

Златой Ваал и злой чубук шамана.

 

С.Винокуров

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество овец в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества.

Анализ исторических документов подтверждает тот факт, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Но ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Только "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) содержит собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми, получивший широкую известность, стал первым руководством по решению задач.

В поисках формулы решения кубических уравнений я познакомился с уникальными научными материалами, заставляющими посмотреть на историю науки и её создателей другими глазами, задуматься над нравственными аспектами их творчества. Жизнь некоторых знаменитых учёных прошлого иногда представляется как занимательный детектив. Таков рассказ о том, как два великих итальянских математика стали смертельными врагами.

12 февраля 1535 г. жители итальянского города Болоньи стали свидетелями необычайного зрелища. К зданию Болонского университета стекались многочисленные людские процессии. Профессора и студенты, скромные ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять лучшие места в аудитории — в университете должен был состояться математический турнир! В Италии того времени широко практиковались математические поединки, в ходе которых ученые состязались между собой в том, кто больше решит задач, предложенных соперником. Победитель получал не только заслуженную славу и денежный приз, но зачастую и возможность занять хорошо оплачиваемую должность. А человек, потерпевший поражение, нередко терял научную репутацию и занимаемое им место. В математических диспутах первой половины XVI века основное место занимала алгебра, недаром названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую считали «малым искусством». Для участников поединков было исключительно важно обладать какой-либо неизвестной для других формулой или новым алгоритмом. Одной из самых актуальных и жгучих проблем того времени было нахождение общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени. Такая формула была давно известна для уравнений второй степени, а поэтому было вполне естественно попытаться найти ее и для третьей. Жители Болоньи надеялись увидеть очередную победу своего земляка — Антонио Марио Фиоре. Сам Фиоре, правда, не слишком славился своими математическими открытиями. Но он был одним из любимых учеников известного алгебраиста Сципиона дель Ферро (1465 — 1526), который перед смертью открыл Фиоре великую тайну — правило решения кубического уравнения.

Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения . Рассуждал он так: корень квадратного уравнения: - ± можно представить в виде х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких-то чисел, причем, среди них должны быть и корни третьей степени. Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать

так, чтобы = .

Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: ( - )³ +3 ( - )=q.

Раскрыли скобки

t - 3 +3 - u+3 - 3 =q.

После приведения подобных слагаемых получили t-u=q.

Получили систему уравнений:

tu=()³ t-u=q. Решим ее. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4, сложим первое и второе уравнения. 4t²+2tu+u²=q²+4()³; (t+u)²=4()+()³ t+u=2

Из новой системы

t+u=2 ; t-u=q получаем t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили следующее равенство:

. (*)

С тех пор Фиоре побеждал в диспутах очень легко — он давал противникам задачи, решение которых сводилось к кубическим уравнениям. Соперником Фиоре должен был стать Никколо Тарталья — главный консультант по математическим расчетам венецианского арсенала, занимавший кафедру математики в Вероне. Тарталья хорошо понимал, какой удар по его репутации нанесет поражение в турнире. Оставался единственный выход из этого отчаянного положения — самому найти формулу для решения кубического уравнения. После длительных размышлений, мучительных неудачных попыток и бессонных ночей он получил желанную формулу для решения кубических уравнений вида x³+ax=b, где a и b — положительные числа. «Я применил все свое рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и это удалось, благодаря счастливой судьбе», — вспоминал позже Тарталья. Поэтому 12 февраля стало черным днем болонской математики — Тарталья одержал безоговорочную победу. Он решил все задачи, предложенные ему соперником, а Фиоре не сумел справиться ни с одной из придуманных Тартальей задач.

Точная дата рождения Никколо Тартальи неизвестна, впрочем, как и его настоящая фамилия. Считается, что он родился около 1500 года в семье бедного конного почтальона Микелетто Фонтана. После смерти отца семья Никколо впала в полную нищету. В школе мальчик проучился всего-то две недели, поскольку на дальнейшее образование не было денег. «С тех пор я учился сам, и у меня не было другого наставника, кроме спутника бедности — предприимчивости», — писал позднее Тарталья в одной из своих книг. Никколо жил во времена, так называемых, Итальянских войн, которые вели между собой Франция и Испания за право владеть Италией. Когда мальчику было около двенадцати лет, Брешия, родной город Николо, был захвачен французскими войсками. Население укрылось в церкви, но стены храма не спасли жителей от бесчинств иностранных солдат. Пострадал и Никколо, получивший удар по голове, в результате чего у мальчика был рассечен язык. Это увечье сделало его речь крайне невнятной. Отсюда и пошло прозвище Тарталья, означающее по-итальянски «заика», ставшее впоследствии фамилией.

Обладая большой настойчивостью и терпением, Никколо научился читать сам. Пристрастившись к математике, он достиг того, что успешно сдал экзамены на звание «магистра абака» (что-то вроде учителя арифметики) и начал работать в частном коммерческом лицее. Затем Тарталья преподавал математику и механику в университетах Брешии, Вероны и Венеции. В своих сочинениях Тарталья рассматривал не только проблемы арифметики, алгебры и геометрии, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики, фортификации и геодезии. В частности, он впервые исследовал вопрос о траектории выпущенного снаряда и показал, что наибольшая дальность полета соответствует углу в 45°. Это открытие могло иметь практическое применение при ожидавшемся нападении турецкого флота на Венецию.

После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, однако продолжал держать в секрете найденную им формулу, так как намеревался опубликовать ее в своем труде по алгебре. Тарталья, по его словам, самостоятельно открыл правило дель Ферро для уравнения x³+ax=b, а через несколько дней после турнира нашел способ решения и уравнения вида x³=ax+b. (В то время признавались только положительные числа, и поэтому эти два вида уравнений рассматривались как разные). Но в некоторых случаях даже Тарталья оказывался бессилен: он знал значения всех трех корней кубического уравнения, но ни одного из них не мог вычислить по своей формуле! Тарталья долго пытался разобраться в возникших трудностях и отложил из-за этого издание книги о своих открытиях. Такую книгу в 1545 году издал другой итальянский ученый — Джироламо Кардано, а знаменитая формула вошла в историю не как формула дель Ферро или Тартальи, а как формула Кардано.

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии, учился в университетах Павии и Падуи, в молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры» (1545г.).

В предисловии к книге Кардано пишет: «...в наше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа... Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее мне…». И хотя Кардано честно написал о том, от кого он узнал секрет решения уравнений третьей степени, Тарталья обиделся, посчитал себя обкраденным и написал своему «другу» гневное письмо. «У меня вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре», — писал Тарталья.

С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами.

В книге Кардано систематически изложены современные ему методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины.

Кардано не ответил на письмо Тартальи. За честь учителя вступился Л. Феррари и в свою очередь написал Никколо резкое письмо. В заключение он вызвал Тарталью на публичный диспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплинам, таким как астрология, музыка, космография, перспектива, архитектура и др.». Поединок состоялся 10 августа 1548 года в Милане. Косноязычному Тарталье было трудно противостоять молодому блестящему Феррари, и он потерпел поражение. Бесславное для Тартальи завершение диспута уронило его научный авторитет и сильно повредило дальнейшей карьере. Никколо стали меньше приглашать для чтения лекций, и он занимал себя тем, что переводил на итальянский язык труды Архимеда и Евклида. Умер Тарталья в 1557 году. А Джероламо Кардано покончил жизнь самоубийством в 1576 году. В конце жизненного пути он написал автобиографическую книгу «О моей жизни», в которой есть такие строчки: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но на самом деле лишь ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». Возможно, его все-таки мучила совесть…

Так кто же все-таки первым открыл формулу? Большинство ученых сходятся на том, что первым решение кубического уравнения нашел все-таки дель Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу дель Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени.

Так С.Г. Бернатосян в аналитической книге «Воровство и обман в науке» так характеризует математика Кардано: «… “великий” изобретатель, итальянец Джероламо Кардано, который, будучи не меньшим аферистом по духу, чем Клавдий Птолемей, только и делал, что пользовался жатвой с чужого поля. Причём в отличие от Птолемея не брезговал обкрадывать не только мёртвых, но и живых. Страсть этого человека к увековечиванию своего имени была ещё более болезненной, и, доведись ему оказаться на месте Герострата, он так же бы легко пошёл на поджог редчайшего по красоте храма. Но если Герострата цивилизованный мир по сию пору поминает с неприязнью, то к Кардано он относится с глубоким уважением и даже подобострастием. Мало того, что его многочисленные достижения заполонили практически все справочники и энциклопедии, так его имя ещё и не сходит с уст автолюбителей, озабоченных состоянием своих карданных шарниров и валов, медиков, использующих “карданный метод” лечения астмы, учащихся колледжей, вызубривающих на уроках формулу Кардано, и даже астрономов, поскольку один из кратеров на видимой стороне Луны тоже назван в его честь».

Считается, что своё время Кардано нашел способы избавлять людей от слепоты, глухоты, немоты, эпилепсии, выработал общий подход к лечению разных типов лихорадок, болезней суставов, камней в почках. Он первым распознал заболевание тифом, создал учение о локализации функций в мозгу, указал на благотворное влияние переливания крови при истощениях и первым обнаружил зависимость между целебными свойствами лекарств и их дозировкой, разработав метод «превращения дурных лекарств в полезные и внушающих отвращение в легко воспринимаемые».

Автор книги считает, что Кардано, «досконально проштудировав все медицинское наследие прошлого, сочинил рассчитанную на средневекового обывателя книгу, где собрал “в кучу” все самые полезные советы и рецепты, позабыв указать их истинных авторов. А безответственные историки, не разобравшись в существе вопроса, с лёгкостью включили в перечень заслуг Кардано достижения этих медиков, тем самым неоправданно выпятив его одиозную фигуру среди блестящих врачевателей Средневековья».

Всеобщее восхищение вызвала «повозка императора» (прообраз современного автомобиля) - одно из самых оригинальных изобретений века, получившая подробное описание в трактате «О тонких материях»: при передвижении по самым тяжёлым дорогам с очень крутыми подъёмами и ухабами, она сохраняла устойчивость и вполне годилась для прогулок самых важных и неприкосновенных особ. Её удобный и простой по конструкции механизм получил широкое распространение в современном машиностроении под общим названием «кардан» (карданный вал с карданным шарнирным сочленением).

Двойственную характеристику Кардано дал немецкий историк математики Мориц Б. Кантор: «Гений, но не характер». Французский философ Шарль Луи Монтескьё, напротив, не признавал в нем гения и брался «найти у Кардано мысли каких угодно авторов». Английский физик и врач Уильям Гильберт придерживался точки зрения, что тот «в своих столь объёмистых томах не передал потомству... ничего такого, что было бы достойно философа, а лишь некоторые сведения, взятые или описанные у других авторов, или неудачно придуманные». Гильберт вообще начисто отвергал любые заслуги Кардано перед наукой.

Чем же порождалась разноголосица мнений? Наверное, противоречивой и следовательно трудно доступной пониманию натурой этого человека, в котором сочетались самые разные наклонности, а цепкий ум уживался с редкой безнравственностью. Верхом такой безнравственности было, например, жестокое противостояние Кардано Николаю Копернику, который осмелился опровергнуть учение почитаемого итальянцем Птолемея, взаимоотношения Кардано с Николло Тартальей и другими математиками, чьи достижения он хитростью присвоил себе и опубликовал под своим именем.

Кардано во многом шёл по стопам своего кумира Птолемея, тут и там доказывая, что гений и злодейство всё-таки совместимы. Эти учёные, принадлежащие к далеко отстоящим друг от друга пластам истории, продемонстрировали миру поразительную общность не только в мировоззрении, но и в деяниях. Будучи людьми широчайшей энциклопедической осведомлённости, они сумели извлечь из наработанного другими ценнейший научный материал. Тщательно переработанный, проанализированный и отшлифованный, он лёг в основу множества дошедших до нас трудов и трактатов. Нельзя не быть благодарными за эти знания, но нельзя и не понимать, что «украсть у кого-то мысли бывает часто преступнее, чем украсть у кого-то деньги».

Проанализировав исторический материал, я пришел к мнению, что все-таки первым решение кубического уравнения нашел дель Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу дель Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени. Но в тоже самое время можно признать, что точка в данном споре пока еще не поставлена. Возможно, исторические архивы таят в себе еще много неожиданного.

Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико. Однако открытие нового теоретического метода, неизвестного ни грекам, ни арабам, воодушевило математиков средневековой Европы. Это открытие стало основой для введения одного из важнейших математических объектов — комплексных чисел. В настоящее время математики разработали приближенные методы для вычисления корней уравнений произвольной степени с любой точностью. Кубические же уравнения сегодня чаще всего решают по формулам Виета-Кардано, которые подходят для любых уравнений такого типа. Многие современные математики считают формулы Кардано неким недоразумением или красивым обманом, однако сам факт их получения заслуживает, как минимум, внимания и восхищения.

 

3. Т еоретическая часть: поиск формулы решения кубических уравнений

 

Основные рассматриваемые вопросы: установление, существует ли формула для решения кубических уравнений; ели «да» - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

В математике принято при доказательстве какого-либо утверждения рассматривать общие случаи. Рассмотрим в начале исследований частные примеры, подтверждающие или опровергающие наши идеи.

На начальном этапе будем использовать знакомые алгоритмы решения квадратных уравнений. Решим уравнение:

x³+2x²-7x-8=0, (**)

Применив формулу (х+а)³=х³+ 3х²а +3а²х+а³ в данном уравнении выделим полный куб. Для этого заменим 2х² на 3х²а, при этом а= .

x³+2x²-7x-8=0 (х³+3х²а+ 3х^. ( + () - 3х^. ( -( - 7х - 8 = (х+ )³ - х - 7x-8 =(х+ )³ -8 x-8 (1).

Пусть y=x+ , откуда x=y- . Тогда подставив данные замены в полученное уравнение (1) имеем: y³-8 (y- )-8 =0,

y³-8 y+5 -8 =0 y³-8 y-2 =0.

Получилось уравнение, в котором вместо целых коэффициентов дробные, но исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного.

Поставим задачу иначе. Член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, необходимо выделить полный куб так, чтобы исчез член – 7х?

Т.е.: (х+а)³=х³+3х² а+ 3а²х + а³.

Заменим 3а²х = -7х; откуда а² = - .

Но такого быть не может (квадрат любого числа есть неотрицательное число).

Итак, промежуточный вывод: уравнение решить не удалось, но удалось привести кубическое уравнение к виду: y³-8 y-2 =0.

Таким образом, из кубического уравнения удалось удалить член, содержащий вторую степень, т.е. каноническое уравнение ах³+вх²+сх+d можно привести к неполному кубическому уравнению х³+рх+q=0.

Современные Кардано методы решения уравнений, главным образом - кубических. По формуле Кардано можно решать уравнения х³+рх+q=0, ведь Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений, мнимых величин.

Таким образом, если уравнение имеет вид х³+рх+q=0, то его корни можно найти по формуле:

, где одинаковое выражение, стоящее под внутренним корнем, заменим на D=()² + ()³ - дискриминант.

Теперь решим полученное ранее уравнение y³-8 y-2 =0, применяя формулу Кардано.

р= -8 =- ; q= - 2 = - .

Легко подсчитать, что ()^{3 =} =- и ()² = = = ()² + ()³ = = - = - = D 0.

Опять проблема. Получили отрицательное число, из которого необходимо извлечь корень, и к тому же из знаменателя этой дроби корень извлекается нацело, получается 3. А из числителя – нет.

Если решаем квадратные уравнения и дискриминант отрицателен, значит корней нет.

Но, решая исходное данное уравнение x³+2x²-7x-8=0 с помощью теоремы Безу, получил три корня:

подбираем целые корни среди делителей свободного члена, x=-1,

разложим на множители (x+1)(x²+x-8)=0. Имеем x₁=-1, x_2,3= .

Исследуем проблему с другой стороны. Составим сами уравнения вида х³+рх+q=0, имеющие корни.

1) Составим уравнение, имеющее один корень x=-2:

х³+9х+26=0 (проверка: (-2)³+9*(-2)+26=-8-18+26=0)

Проверим, является ли значение x=-2 корнем уравнения по формуле Кардано

х= + = + = =1- 3 =- 2

2) Составим еще одно уравнение, имеющее корень x=-4

х³+15х+124=0

(-4)³ +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

По формуле Кардано

х= + = + = =1- 5 =- 4

Корни совпали.

3) Составим уравнение, имеющее действительный положительный корень:

x=2, х³ +9х–26 =0. Проверка подстановкой 2³+9*2-26=0, проверка по формуле Кардано х= + = + = + =3-1 = 2.

 

4) Составим уравнение х³+6х+2=0, которое имеет один иррациональный корень х = - .

Формула Кардано подходит для уравнений, имеющих один корень.

Но уравнение, для которого не подходила формула, имело три корня.

Возможно причина в количестве корней.

5) Возьмем уравнение, имеющее два корня: х³–12х+16=0. p = -12, q = 16. D=()² +()³=()²+()³=64-64=0, D =0. 6) Рассмотрим уравнение, имеющее три корня: -1; -2; 3.

х³ – 7х - 6=0

p= -7; q = -6.

D = ()² + ()³ = (- )² + (- )³= 9 - = 9- < 0

Под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Следовательно уравнение х³+рх+q=0 имеет три корня, когда D < 0 и невозможно выполнить операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Данное заключение подтверждается, если исследовать график кубического трехчлена х³+рх+q. Нетрудно убедиться, что он, в самом деле, имеет единственный вещественный корень при D > 0. При D < 0 имеется три вещественных корня. При D = 0 имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при p=q=0 - трехкратный корень x=0.

В справочнике по математике автора Н.И.Бронштейна так же подтверждается данный факт.

Продолжим исследование формулы при D > 0. Оказывается, что, если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение x³+3x-4=0 имеет единственный корень (вещественный) – x=1. Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение x= . Значит, =1

Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения x³+3x-4=0. Если же не угадать этого, то при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.

Таким образом, число корней кубического уравнения вида х³+рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=()² +()³ следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D<0, то уравнение имеет 3 решения.

Если D=0, то уравнение имеет 2 решения.

Вывод:

- формулой Кардано удобно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный;

- существует формула для нахождения корней кубического уравнения вида х³+рх+q=0.

Практическая часть.

Мне показалась интересной идея решения уравнений третьей степени с помощью формулы Кардано. И решил поделиться с одноклассниками данным методом, узнать их мнение, прийти к заключению, какой способ проще.

Для этого предложил для решения некоторые задания.

1) Решить уравнение: x³ – 6x² – 6x – 2 = 0 (1)

Решение. Сначала приведем уравнение к трехчленному виду. Для этого сделаем в замену x = y + 2. Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 = (y + 2)³– 6(y + 2)² – 6(y + 2) – 2 =
= y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² – 24y – 24 – 6y – 12 – 2 = y³ – 18y – 30.

Следовательно, уравнение принимает вид y³ – 18y – 30 = 0

Теперь сделаем в уравнении еще одну замену

Тогда поскольку

то уравнение примет вид

Далее получаем:

Отсюда по формуле имеем:

Ответ:

 

Рассмотрим задачи с параметрами. 2)При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х³-3х+4=а имеет 1 решение?

Решение. Запишем уравнение в виде х³-3х+4-а=0; р= -3; q=4-а. По условию уравнение должно иметь 1 решение т.е. D>0. D=()² +(- )³= +(-1)³= = = а² -8а+12>0, (а-2)(а-6)>0, а (-∞;2) (6; ∞).

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – 1.

Ответ: 1

3) При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение

х³+х²-8х+2-а=0 имеет три корня?

Решение. Уравнение х³+3х²-24х+6-3а=0 приводим к виду у³+ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q = - + , 3 p = . Откуда q=32-3а; р=-27. D=()² + ()³ =()²+(-9)³= -729 = ; D<0. Решим неравенство <0. D=(-192)²-4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324² а₁ = = =28 , а₂ = = - = -7 ,

(а+ (а- )<0, а (-7 ; 28 )

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала: 28.

Ответ:28

4) В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения

х³ – 3х – а=0

Решение. р =-3; q = -а, D=()² + ()³ =(- )²+(-1)³= -1= .

При а (-∞;-2) (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

5) Сколько корней имеют уравнения:

а ) х³ -12х+8=0?

Решение: р =-12; q = 8; D=()² + ()³ = =16-64<0.

Ответ: 3 корня.

б) х³-9х+14=0.

Решение: р =-9; q = 14; D=()² + ()³ = = 49-27>0

Ответ: 1.

6) При каких значениях р уравнение х³ +рх+8=0 имеет два корня?

Решение: р =р; q