Основные свойства линейных операций.

Лекция 1.

Геометрические векторы.

Вопрос № 1. Координаты на прямой, числовая ось.

Рассмотрим произвольную прямую. На этой прямой можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них. На рисунке будем обозначать это направление стрелкой.

Пусть, кроме этого, выбрана масштабная единица для измерения длин отрезков.

Определение. Прямая линия, с выбранным на ней направлением и единицей масштаба, называется координатной осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки и .

Определение. Отрезоксграничными точками и называется направленным, если указано, какая из точек и считается началом, а какая – концом отрезка.

Длина направленного отрезка обозначается так .

Определение. Величиной направленного отрезка называется число, равное , если направление отрезка и оси совпадают, и равное , если эти направления противоположны.

Если точки и совпадают, то величину направленного отрезка считаем равной нулю.

Утверждение. Для любых трех точек и на оси справедливо основное тождество .

Определение. Числовой осью называется прямая линия, на которой зафиксирована точка , называемая началом координат, выбраны положительное направление и единица длины.

Каждому действительному числу однозначно соответствует точка на оси координат.

Пусть точка имеет координату , а точка - координату . Величина направленного отрезка равна .

 

 

Вопрос № 2. Прямоугольная система координат.

Определение. Две взаимно перпендикулярные оси и , имеющие общее начало и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось называется осью абсцисс, ось осью ординат, а обе оси вместе – осями координат.

Прямоугольными координатами и точки называются величины направленных отрезков и : .

Координаты и точки называются ее абсциссой и ординатой.

Оси координат разбивают плоскость на части, их называют четвертями и номеруют римскими цифрами I, II, III, IV.

Определение. Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трехпересекающихсяв одной то­ч­­­­­ке взаимно перпендикулярных осей.

Координаты и точки называются ее абсциссой, ординатой и аппликатой.

 

Вопрос № 3. Геометрические векторы.

Определение. Направленный отрезок называется геометрическим вектором.

Обозначение. Вектор обозначается символом (или ), причем первая буква означает начало вектора, а вторая – его конец.

Определение. Вектор называется противоположным вектором к вектору .

Определение. Длинойвектора называется длина направленного отрезка и обозначается .

Определение. Вектор,у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором.

Обозначение. Нулевой вектор: или .

Нулевой вектор имеет произвольное направление, его длина равна нулю.

Определение. Векторы и называются равными () если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины раны.

Совокупность всех равных векторов называют свободным вектором.

Пусть заданы ось и некоторый вектор . Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные оси . Обозначим через и точки пересечения этих плоскостей с осью .

Определение. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка на оси .

Обозначение. Проекция вектора на ось : .

Утверждение 1. , где угол между вектором и осью .

Утверждение 2. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат и произвольный вектор . Пусть также .

Утверждение 3. .

Утверждение 4. .

Определение. Проекции вектора на оси координат называют его координатами.

Обозначение. .

Утверждение 5. Для любых двух точек и координаты вектора определяются соотношениями: .

Утверждение 6. Есливектор выходит из начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца: , здесь и .

Пусть задан произвольный вектор , выходящий из начала координат и не лежащий ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок .

Следовательно

Обозначим через углы между вектором и осями координат. Тогда из «Утверждения 1» следует

Определение. называются направляющими косинусами вектора .

Утверждение 4.

Вопрос № 4. Линейные операции над геометрическими векторами.

Пусть даны два вектора и .

Определение. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Утверждение 1.

Если и , то .

 

Пусть даны вектор и число .

Определение. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как вектор , если , и противоположное, если .

Утверждение 2. Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число такое, что .

Основные свойства линейных операций.

1. (переместительное свойство сложения)

2. (сочетательное свойство сложения)

3. (сочетательное свойство умножения)

4. (распределительное свойство относительно суммы чисел)

5. (распределительное свойство относительно суммы векторов)

Эти свойства дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия.

Определение. Векторы и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Вопрос № 5. Базисы и координаты.

Определение. На плоскости два любых не коллинеарных вектора и называются базисом.

Утверждение 1. Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса .

Пусть векторы единичные векторы осей координат на плоскости. Это означает, что

,

и каждый из них одинаково направлен с ответствующей осью координат.

Утверждение 2. Совокупность векторов является единичным ортогональным базисом на плоскости.

Пусть векторы единичные векторы осей координат. Это означает, что

,

и каждый из них одинаково направлен с ответствующей осью координат.

Определение. Тройка векторов называется базисом.

Утверждение 3. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , то есть, представлен в виде

,

где некоторые числа (координаты вектора).

Рассмотрим вектор , для которогочисла координаты этого вектора в базисе .

Утверждение 4. Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты его конца равны координатам вектора .

Утверждение 5. Координаты вектора в данном базисе равны разностям одноименных координат его конца и начала в системе координат, определенной данным базисом.

Утверждение 6. Если вектор задан своими координатами , то противоположный ему вектор имеет координаты , то есть .

Таким образом вектором в можно называть любую упорядоченную тройку чисел .

 

Лекция 2.

Умножения геометрических векторов.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то угол не определен и скалярное произведение равно нулю.

Обозначение. Скалярное произведение векторов и обозначают ,

,

где угол между векторами и .