Корни уравнения
Сначала рассмотрим несколько примеров
Пример 1
Уравнение 6 х = 12. Используя правило нахождения неизвестного множителя вычисляем значение х, это число 2. То есть данное уравнение имеет только один корень.
Пример 2
Уравнение (х – 7)(х + 2) = 0. Вспоминаем, что произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. Используя это свойство приравниваем каждый из множителей к нулю.
Решаем каждое из получившихся простейших уравнений используя правила нахождения неизвестного уменьшаемого и неизвестного слагаемого, либо переносим неизвестные в левую часть уравнения, а известные в правую. Получаем:
То есть данное уравнение имеет два корня 7 и – 2.
Учитывая примеры, сформулируем основные понятия.
Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным).
Корнем или решением уравнения называют значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
В рассмотренных примерах уравнения имели конечное число корней (два или один). Уравнения также могут иметь бесконечное множество корней или вовсе не иметь корней.
Пример 3
Уравнение 7(х + 3) = 7 х + 21, используя распределительное свойство, можно записать в виде 7 х + 7 ∙ 3 = 7 х + 21 или 7 х + 21 = 7 х + 21. Видно, что при любом значении х левая часть уравнения равна правой (т.е., по сути, уравнение является тождеством). Поэтому любое число х будет корнем данного уравнения (таких корней бесконечно много).
Пример 4
Уравнение х 2 + 1 = – х 2 корней не имеет, так как при любых значениях х его левая часть х 2 + 1 положительна, а правая часть не положительна.
Заметим, что одна из частей уравнения может и не содержать переменной.
Равносильные уравнения
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.
Пример 5
а) Уравнения х 2 – 5 х + 6 = 0 и (х – 2)(х – 3) = 0 являются равносильными, так как каждое из них имеет одни и те же корни х 1 = 2 и х 2 = 3.
б) Уравнения х 2 + 5 = –3 и х 2 + 1 = –2 также являются равносильными, так как каждое из этих уравнений корней не имеет (в них левая часть при любых значениях х – величина положительная, а правая часть – отрицательная).
Решение уравнение состоит в его постепенной замене более простыми равносильными уравнениями.
При решении уравнений используются следующие свойства.
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример 6
Уравнения 6 х = 3 х + 7 и 6 х – 3 х = 7 равносильны (перенесли слагаемое 3 х в левую часть уравнения).
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример 7
Уравнения 6 х = 3 х + 7 и 2 х = х + 
равносильны (обе части уравнения разделили на 3)
Эти свойства уравнений основаны на свойствах числовых неравенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство.