Задание: изучить материал урока, выполнить самостоятельную работу и домашнее задание.
Урок
Тема: Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
Цель: познакомиться с понятием второй производной функции и её применением в физике и в исследовании функции.
Лекция
1. Если производная f ' (x) функции f (x) дифференцируема в точке x0, то её производная называется второй производной функции f (x) в точке x0, и обозначается f '' (x0). Проще говоря, вторая производная — это производная от первой производной.
Пример: Найти производную второго порядка функции 
Для того чтобы найти вторую производную, вначале надо найти производную первого порядка: 
Согласно свойству линейности, имеем:
 |
Решение
Тогда искомая вторая производная:
Ответ:
Физический смысл производной второго порядка: Пусть тело движется прямолинейно по некоторому закону s. Тогда в торая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени: a= s'' или a = v' =s''.
Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону: s = (t3 — 2) м.
Определить ускорение в момент t = 10 сек.
Решение. Ускорение а =s''.
а =((t3 — 2)')'= (3t2-0)' = 6t
Следовательно, a (10)= 6t = 6*10 = 60; a = 60 м/сек2.
Ответ: 60 м/сек2.
2. Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая.
Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x 0, f (x 0)), x 0 
(a, b).
Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x 0, f (x 0)), x 0 (a, b).
Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:
1) если f'' (x) > 0 для любого x 
(a, b), то функция f (x)является вогнутой на интервале (a, b);
2) если f'' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x)является выпуклой на интервале (a, b).
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x 0 существует вторая производная f '' (x 0), то f '' (x 0) = 0.
 |
Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)
1) Найти вторую производную f″.
2) Найти точки, в которых вторая производная f″ обращается в нуль или терпит разрыв.
3) Исследовать знак второй производной f″ на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
4) Вычислить значения функции в точках перегиба. Общая схема для построения графиков функций.
Пример: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6x2-x3. Решение:
1. Находим f ′(x)=(6x2-x3)′= 12x-3x2, f ″(x)=(12x-3x2)′ = 12-6x.
2. Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2
4. f (2)=6·22-23=16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈ (2;+∞); функция выпукла вниз при x (-∞;2); точка перегиба (2;16).
Самостоятельная работа.
Вариант 1
1) Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Найти значение времени 
, при котором ускорения точки равно 4 м/с2.
2) Найдите точки перегиба функции y= x3+x.
Вариант 2
1) Точка движется прямолинейно по закону 
. Найдите момент времени , когда ускорение точки равно нулю..
2) Найдите точки перегиба функции y= x3-6x.
Домашнее задание: § 53, № 954