ЭТАПЫПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Что приводит к усложнению модели и необходимости совместного использования нескольких теорий (нередко — из разных областей знания), применения современных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования. Сегодня повсеместное использование моделей в практике инженерно-технической деятельности вызвало необходимость в алгоритме построения мат. моделей.
Процесс построения любой математической модели можно представить последовательностью этапов, представленных на рис. 2.1.
ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей). Если это решение все-таки принято, то порядок действий следующий.
Основной целью этапа обследования объекта моделирования является подготовка содержательной постановки задачи моделирования.
Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных интересующих вопросов об объекте моделирования составляет содержательную постановку задачи моделирования.
Этап обследования включает следующие работы:
1.тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;
2.сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов;
3.аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);
4.анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.
Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели.
Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте.
Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.
Модель должна позволять:
· вычислять положение мяча в любой момент времени;
· определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
· масса и радиус мяча;
· начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
· координаты центра и радиус корзины.
КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных интересующих вопросов, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
Концептуальная модель строится как некоторая идеализированная модель объекта, записанная в терминах конкретных дисциплин. Для этого формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров. Как правило, эти гипотезы правдоподобны, так как для их обоснования могут быть приведены некоторые теоретические доводы и использованы экспериментальные данные, основанные на собранной ранее информации об объекте. Согласно принятым гипотезам определяется множество параметров, описывающих состояние объекта, а также перечень законов, управляющих изменением и взаимосвязью этих параметров между собой.
ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.
1. Прямая задача – построение математической модели начинают с физического описания объекта.
При этом выделяют элементарные процессы:
-движение потоков фаз;
-массообмен между фазами;
-теплопередача;
-изменение агрегатного состояния;
-химические превращения.
Таким образом, составляется математическая модель процесса и далее исследование производится с помощью вычислительного эксперимента.
2. Обратная задача: оптимизация иногда физическое описание устанавливается в результате математического моделирования. Математическое моделирование используется для проверки гипотез о механизме процессов.
Цель математического моделирования: определение оптимальных условий протекания процесса, управление им на основе математической модели и перенос результатов на объект.
СХЕМА ЭТАПОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
|
 |
Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа:
1. составление математического описания изучаемого объекта
2. выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы
3. установление соответствия (адекватности) модели объекту
На этапе составления математического описания предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее, для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение (или систему уравнений), отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнение связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.
Этап выбора метода решения и разработки моделирующей программы подразумевает выбор наиболее эффективного метода решения из имеющихся (под эффективностью имеются в виду быстрота получения и точность решения) и реализацию его сначала в форме алгоритма решения, а затем – в форме программы, пригодной для расчета на ЭВМ.
Построенная на основе физических представлений модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.