Ранг матрицы. Условия разрешимости системы линейных уравнений

Лекция 6

Тема «Понятие системы линейных уравнений.

Условия разрешимости системы»

Цель: формирование понятия системы линейных уравнений (СЛУ), ее видов и представлении в матричной форме4 ознакомление с условиями разрешимости системы.

План лекции:

1. Понятие СЛУ, виды систем.

2. Представление СЛУ в матричной форме.

3. Ранг матрицы. Условия разрешимости системы линейных уравнений.

Основные понятия: система линейных уравнений; совместные, несовместные, определенные, однородные и неоднородные системы.

Понятие системы линейных уравнений. Виды СЛУ

ОПР. Система уравнений следующего вида

где , ,…, - неизвестные, подлежащие определению,

,…, - коэффициенты системы, , ,…, - свободные члены, называется системой линейных уравнений (СЛУ).

ПРИМЕР. – система линейных уравнений

х и у – переменные

ОПР. Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, т.е. такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения в тождества.

ПРИМЕР. х = -1,5 и у = 2,5 – решение системы, т.к.

⇒ тождества

ОПР. Система линейных уравнений называется:

А) совместной, если она имеет хотя бы одно решения, и несовместной – если СЛУ решений не имеет;

Б) определенной, если система имеет единственное решение;

В) однородной, если все свободные члены

Г) неоднородной, если есть хотя бы один свободный член не равен нулю.

ПРИМЕР.

Система линейных уравнений – совместная, определенная и неоднородная, т.к. х = -1,5 и у = 2,5 – единственное решение и – свободные члены, не равные нулю.

ОПР. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение.

ВАЖНО! Эквивалентные системы получаются, в частности при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками системы.

ПРИМЕР.

и – эквивалентные системы

Вторая СЛУ получена из первой путем элементарного преобразования: первое уравнение до множено на 3, а второе до множено на число (-2).

Представление СЛУ в матричной форме

Систему линейных уравнений удобно записывать в компактной матричной форме ,

где А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей

, – вектор – столбец из неизвестных ,

- вектор – столбец из свободных членов .

Произведение матриц А∙Х определено, т.к. в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

ОПР. Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов .

Всякое решение СЛУ можно записать в виде матрицы – столбца .

ПРИМЕР.

СЛУ Основная матрица

Расширенная матрица

Ранг матрицы. Условия разрешимости системы линейных уравнений

Пусть система m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде имеет следующий вид:

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой СЛУ (т.е. о наличии хотя бы одного решения системы) дает теорема Кронекера – Капелли.

Обозначение: r(А) – «ранг матрицы А».

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Алгоритм нахождения ранга матрицы методом перебора миноров:

Пусть дана матрица А порядка m x n.

1. при наличии хотя бы одного элемента, отличного от 0, то ранг матрицы как минимум равен 1 (т.к. есть минор 1-ого порядка, который не равен 0);

2. перебираем миноры 2-ого порядка; если все миноры 2-ого порядка равны 0, то ранг равен 1.; при существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-ого порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-его порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум 2;

3. аналогичным образом поступим с рангом 3-его порядка: если все миноры матрицы равняются 0, то ранг будет равен 2; при наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-его порядка, то ранг матрицы равен минимум 3.

И так далее, по аналогии.

ПРИМЕР. Найти ранг матрицы .