ВВЕДЕНИЕ
Овладеть практическими навыками применения простейших алгоритмов линейного и нелинейного сглаживания данных (функций, заданных табличным способом) и их численного дифференцирования, а также получение навыков проведения оценок полученных результатов относительно погрешностей и коэффициентов обусловленности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для заданного ряда экспериментальных измерений функции в равноотстоящих узлах 
. Требуется произвести сглаживание результатов измерений, представленных таблично (Таблица 1). Для этого необходимо использовать алгоритмы линейного и нелинейного сглаживания.
Выполнить численное дифференцирование для исходных и сглаженных данных, используя формулы численного дифференцирования, основанные на формуле Бесселя и на второй формуле Гаусса.
Для заданных формул численного дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные значения и сделать рекомендации по применению соответствующих методов.
Определить оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений функции.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
MEDSMOOTH и SUPSMOOTH
Проведем сглаживание данных с использованием встроенных функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.
Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное единице.
Из таблицы 1 введем исходные данные и разместим их в массивах (x), (y).
Рисунок 1 - Графическое сравнение функций medsmooth и supsmooth с исходной функцией
Линейное сглаживание данных по трем и пяти точкам
Используя алгоритм линейного сглаживания данных по трем точкам изобразим на одном графике исходные (у) и сглаженные данные.
Рисунок 2 - График данной функции и сглаженных данных (по трем точкам)
Проведем линейное сглаживание данных по пяти точкам и построим графики исходных и сглаженных данных.
Рисунок 3 - График данной функции и сглаженных данных (по пяти точкам)
Нелинейное сглаживание данных по семи точкам
Проведем нелинейное сглаживания по семи точкам и изобразим на одном графике исходные и сглаженные данные. сглаживание.
Рисунок 4 - График данной функции и сглаженных данных (по семи точкам)
Построим таблицы сглаженных данных, полученных разными методами.
Таблица 1 - Исходные данные и данные, полученные в результате сглаживания линейными и нелинейным методами
| x | Y | Z3 | Z5 | Z7 |
| 0.115 | 8.657 | 8.652 | 8.631 | 8.657 |
| 0.12 | 8.293 | 8.303 | 8.274 | 8.294 |
| 0.125 | 7.958 | 7.967 | 7.984 | 7.958 |
| 0.13 | 7.649 | 7.657 | 7.672 | 7.649 |
| 0.135 | 7.362 | 7.369 | 7.383 | 7.362 |
| 0.14 | 7.096 | 7.102 | 7.114 | 7.096 |
| 0.145 | 6.848 | 6.854 | 6.865 | 6.848 |
| 0.15 | 6.617 | 6.622 | 6.631 | 6.617 |
| 0.155 | 6.4 | 6.404 | 6.413 | 6.305 |
| 0.16 | 6.197 | 6.201 | 6.409 | 6.149 |
| 0.165 | 6.006 | 6.343 | 6.617 | 6.311 |
| 0.17 | 6.826 | 6.829 | 6.996 | 6.881 |
| 0.175 | 7.657 | 7.592 | 7.348 | 7.548 |
| 0.18 | 8.293 | 7.97 | 7.677 | 8.021 |
| 0.185 | 7.958 | 7.967 | 7.784 | 8.037 |
| 0.19 | 7.649 | 7.657 | 7.652 | 7.73 |
| 0.195 | 7.362 | 7.336 | 7.363 | 7.334 |
| 0.2 | 6.996 | 7.069 | 7.094 | 7.158 |
| 0.205 | 6.848 | 6.82 | 6.645 | 6.962 |
| 0.21 | 6.617 | 6.288 | 5.811 | 6.174 |
| 0.215 | 5.4 | 5.071 | 5.013 | 5.076 |
| 0.22 | 3.197 | 3.867 | 4.209 | 3.694 |
| 0.225 | 3.006 | 3.009 | 3.23 | 2.868 |
| 0.23 | 2.826 | 2.824 | 2.214 | 2.854 |
Сравнение результатов сглаживания
Рисунок 5 - Графическое сравнение результатов сглаживания с исходной функцией
Сравним (графически) линейные и нелинейный методы сглаживания с исходной функцией.
Анализируя график, можно сделать вывод о том что наиболее точным является метод medsmooth.
Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных
Для численного дифференцирования данных воспользуемся формулами, приведенными ниже. Вычисления выполним в среде MathCAD, результаты сравним графически.
Рисунок 6 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных
Изменим шаг дифференцирования, уменьшив его в 4 раза.
Рисунок 7 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг уменьшен в 4 раза)
Изменим шаг дифференцирования, увеличив его в 4 раза.
Рисунок 8 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг увеличен в 4 раза)
В результате делаем вывод о том, что при уменьшении шага, получаем более точный результат.