Тема: Показательная функция, ее свойства и график
1. Теоретический материал к новой теме:
· Функцию вида y = ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
· Область определения показательной функции: D (y)= R – множество всех действительных чисел.
· Область значений показательной функции: E (y)= R+ - множество всех положительных чисел.
· Показательная функция y =ax возрастает при a>1.
· Показательная функция y =ax убывает при 0<a<1.
Справедливы все свойства степенной функции:
· а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
· а1=а Любое число в первой степени равно самому себе.
· ax ∙ ay = ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
· ax :a y=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
· (ax)y =a xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
· (a ∙b)x = ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
· (a/b)x =ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
· а-х=1/ax
· (a/b)-x=(b/a)x.
Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.
1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула:
N= N0·akt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т. п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.
2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P0·a-kh, P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.
3) Закон роста древесины: D=D0·akt, D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.
4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой:
T=T0+(100– T0)e-kt.
5) Закон поглощения света средой: I=I0·e-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.
Решение примеров
1) Построить график функции y=2x.
Найдем значения функции
При х=0, х=±1, х=±2, х=±3
x =0, y =20=1; Точка А.
x =1, y =21=2; Точка В.
x =2, y =22=4; Точка С.
x =3, y =23=8; Точка D.
x =-1, y =2-1=1/2=0,5; Точка K.
x =-2, y =2-2=1/4=0,25; Точка M.
x =-3, y =2-3=1/8=0,125; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.
2) Построить график функции y=(1/2)x.
Найдем значения функции при х=0, х =±1, х =±2
x=0, y=(½)0=1; Точка A.
x=1, y=(½)1=½=0,5; Точка B.
x=2, y=(½)2=¼=0,25; Точка C.
x=3, y=(½)3=1/8=0,125; Точка D.
x=-1, y=(½)-1=21=2; Точка K.
x=-2, y=(½)-2=22=4; Точка M.
x=-3, y=(½)-3=23=8; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0<(1/2)<1.
3) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.
График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у =ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
4) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.
Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х =±1.
Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси О у.
Все эти функции являются убывающими, так как
большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
5. Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x.
В одной координатной плоскости построим графики функций:
у=3х и у=4-х.
у=3х х=0, у =1; х=1, у=3; х=2,у=9
у=4-х х=0, у=4; х=4,у=0
Графики пересеклись в точке А(1; 3).
х=1 Ответ: 1.
2) 0,5х=х+3.
В одной координатной плоскости строим графики функций:
у=0,5х и у=х+3
(y=(1/2)x) х=0, у=1; х = -1, у=2; х= -4, у= 4
и у=х+3 х=-3, у=0; х=0, у=3
Графики пересеклись в точке В(-1; 2).
х= -1 Ответ: -1.
Задания для самостоятельного выполнения
Установка: Алгебра и начала анализа под редакцией Колмогорова
П.35 стр. 226-229, №№ 445(а, б),448, 457(в, г)
Подготовить конспект нового материала с примерами!
Конспекты и примеры (фото) прислать на Ватс ап до 2 февраля