Вопросы к экзамену по курсу: «Математический анализ»
1. Понятие множества и операции над множествами. Аксиоматика действительных чисел.
2. Понятие функции (отображения). Классификация отображений. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
3. Теорема о существовании точной верхней/нижней грани у непустого, ограниченного сверху/снизу множества.
4. Числовые последовательности. Монотонные последовательности. Ограниченные последовательности.
5. Предел последовательности. Сходящиеся последовательности. Ограниченность последовательности.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей
7. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
8. Теорема об арифметических операциях над пределами последовательностей.
9. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
10. Подпоследовательности. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
11. Монотонные последовательности. Критерий существования предела монотонной у последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
12. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Число 
как предел последовательности.
13. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
14. Арифметические свойства предела.
15. Предельный переход в неравенствах (для функций).
16. Правый и левый пределы функции, их связь с пределом функции.
17. Теорема о пределах трех функций. Первый замечательный предел.
18. Теорема о пределе композиции функций. Второй замечательный предел.
19. Бесконечно малые функции, арифметические операции с ними. Теорема о сохранении знака функции в окрестности точки. Единственность предела функции в точке.
20. Критерий Коши существования предела функции в точке.
21. Классификация бесконечно больших и бесконечно малых функций. Достаточное условие того, что функции являются бесконечно малыми одного порядка малости.
22. Необходимое и достаточное условие эквивалентности функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).
23. Непрерывность функции в точке. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
24. Свойства функций, непрерывных в точке. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции.
25. Теорема о прохождении через ноль функции, непрерывной на отрезке (1-я Больцано-Коши). Теорема о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке (2-я Больцано-Коши).
26. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса). Теорема о достижении своих точных граней функцией, непрерывной на отрезке (2-я теорема Вейерштрасса).
27. Точки разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции.
28. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности на отрезке (Кантор).
29. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы. Основные правила вычисления производных. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции.
30. Производные элементарных функций. (с доказательством).
31. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в полярных координатах.
32. Уравнение касательной и нормали к кривой.
33. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков функции, заданной параметрически. Производные высших порядков функции, заданной в полярных координатах.
34. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Понятие дифференциала. Его геометрический смысл.
35. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного. Дифференциалы высших порядков.
36. Теорема Ферма. Теорема Роля.
37. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
38. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей 
.
39. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей 
.
40. Многочлен Тейлора, формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и в форме Коши.
41. Формула Тейлора для элементарных функций (с доказательством).
42. Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
43. Условия монотонности функции на интервале.
44. Необходимое условие внутреннего экстремума функции в точке. Достаточное условие внутреннего экстремума функции в точке в терминах 1-й производной.
45. Достаточное условие внутреннего экстремума функции в точке в терминах высших производных.
46. Условия выпуклости функции. Точки перегиба, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.
47. Предел и непрерывность векторных функций. Дифференцируемость векторных функций. Производная и дифференциал векторных функций.
48. Производная суммы, скалярного и векторного произведения векторных функций. “Формула конечных приращений”.
49. Понятие пути. Носитель пути. Понятие кривой. Носитель кривой. Ориентированные кривые. Суммы кривых.
50. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции. Гладкая кривая.
51. Длина кривой. Производная от переменной длины кривой.
52. Лемма об ортогональности векторной функции и ее производной. Лемма об угловой скорости вращения радиус-вектора. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости.
53. Кривизна кривой.