Банк задач по теории вероятностей.
Случайные события
1.Из 10 билетов лотереи 3 выигрышных. Наугад берут 2 билета. Какова вероятность того, что они выигрышные?
2. Студент знает ответ на 40 вопросов из 50. Какова вероятность ответить правильно на билет, состоящий из 3 вопросов?
3. Студент знает ответ на 20 вопросов из 35. Для сдачи экзамена достаточно ответить хотя бы на 3 вопроса из 5. Какова вероятность сдать экзамен?
4. В урне 7 белых и 8 красных шаров. Наугад выбирают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них
а) 2 белых;
б) все белые.
5. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,9. Считая, что выстрелы производятся независимо друг от друга, найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется
а) ровно три попадания;
б) ровно два попадания;
в) ровно одно попадание;
г) хотя бы одно попадание;
д) ни одного попадания.
6. Из колоды, содержащей 36 карт, случайно выбирают 2 карты. Найти вероятность того, что
а) обе карты дамы;
б) обе карты одной масти;
в) одна карты дама, а другая карта пик.
7. Из колоды, содержащей 52 карты, случайно выбирают 3. Найти вероятность того, что среди этих карт окажется «тройка», «семерка» и «туз»?
8. Получена партия телефонов, из которых 45% сделаны на одном заводе, а остальные на втором. Вероятность брака на первом заводе равна 0,05, а на втором – 0,1. Найти вероятность того, что
а) случайно выбранный телефон не имеет брака;
б) телефон изготовлен на первом заводе, если он не бракованный.
9. Имеется 3 одинаковых ящика. В первом находится 5 белых и 8 черных шаров, во втором – 5 белых и 10 черных шаров, в третьем – 3 белых и 5 черных шаров. Из наудачу выбранного ящика вынули один шар. Какова вероятность, что он белый?
10. Имеется партия деталей трех сортов. 40% составляют детали первого сорта, 25% - второго, остальные – третьего. Среди деталей первого сорта 3% брака, среди деталей второго- 5% брака, среди деталей третьего сорта – 7% брака. Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь
а) бракованная;
б) не бракованная;
в) второго сорта, если она оказалась бракованной.
11. Имеется 2 одинаковых ящика. В первом находится 6 белых и 8 черных шаров, во втором – 3 белых и 10 черных шаров. Из первого ящика во второй переложили 1 шар. Затем из второго вынули 2 шара. Какова вероятность, что они оба черные?
12. В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно и 2 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный - на 10 и плохо подготовленный - на 5. Вызванный студент ответил на 3 заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что это был плохо подготовленный студент и ему просто повезло.
13. В партии 8 деталей, из них 3 бракованные. Наудачу взяты 4 детали. Найти вероятность того, что из них 2 бракованные.
14. Брошены две монеты. Найти вероятность того, что
а) выпадет два орла;
б) выпадет один орел и одна решка.
15. Бросается 1 раз игральная кость. Какова вероятность выпадения шестерки?
16. Дважды бросается игральная кость. Какова вероятность, что
а) сумма выпавших очков окажется более 10;
б) произведение выпавших очков меньше 8;
в) выпадет две единицы;
г) сумма выпавших очков не менее 5 и не более 9.
17. Двое студентов договорились встретиться в течение часа. Пришедшей первым ждет 20 минут и уходит. Какова вероятность, что встреча состоится?
18. Биатлонист стреляет в круг радиуса R = 3 см. В этот круг он попадает с вероятностью 1. Какова вероятность, что биатлонист попадет в круг радиуса r = 1 см, находящийся в круге радиуса 3 см?
19. Какова вероятность, бросая точку в квадрат, попасть в круг, вписанный в этот квадрат? Вероятность попадания в квадрат равна 1.
20. Какова вероятность, бросая точку в круг, попасть в квадрат, вписанный в этот круг? Вероятность попадания в круг равна 1.
21. Найти вероятность того, что при бросании монеты 6 раз орел выпадет
а) 4 раза;
б) не менее двух раз;
в) хотя бы 4 раза.
22. Футболист бьет 5 раз пенальти. Вероятность забить при одном ударе равна 0,8. Какова вероятность, что будет забито
а) ровно 2 мяча;
б) хотя бы один мяч;
в) не менее трех мячей.
23. Вероятность рождения мальчика 0,51. Какова вероятность, что в семье из трех детей
а) ровно два мальчика;
б) хотя бы два мальчика;
в) все три мальчика.
24. На факультете учится 1095 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно
а) двух студентов;
б) хотя бы трех студентов.
25. Монета бросается 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 40 раз.
26. Игральную кость бросают 500 раз. Какова вероятность того, что число выпадений шестерки будет между 100 и 200?
27. Вероятность детали быть бракованной равна 0,1. Какова вероятность, что среди 300 деталей число бракованных деталей
а) равно 35;
б) находится между 20 и 40;
в) менее 30;
г) не менее 50.
28. Вероятность опечатки на одной странице книги равна 0,02. Какова вероятность, что в книге из 200 страниц будет
а) ровно 5 опечаток;
б) не менее 5 опечаток;
в) не более 4 опечаток.
Случайные величины
29. Х – случайная величина. МХ = 50, DХ=25. Используя неравенство Чебышева оценит вероятность Р(|Х - МХ| ≥ 10).
30. Непрерывная случайная величина Х – вес мужчины, со среднем 80 кг и дисперсией 50. Оценит с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что вес случайно встреченного мужчины отличается от среднего на величину большую 20 кг.
31. Х – случайная величина, с математическим ожиданием МХ и дисперсией σ2. используя неравенство Чебышева, оценить
а) сверху вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3σ;
б) снизу вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания меньше, чем на 2σ.
32. Футболист бьет 3 раза пенальти. Вероятность забить при одном ударе равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – число забитых пенальти. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DХ и среднее квадратическое отклонение σ. Определить вероятность того, что будет забито не менее двух мячей. Построить многоугольник распределения.
33. Симметричная монета бросается 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – число выпавших гербов. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DХ и среднее квадратическое отклонение σ. Определить вероятность того, что выпадет не менее двух гербов. Построить многоугольник распределения.
34. Играют два шахматиста матч их 4 партий. Вероятность выигрыша первым шахматистом одной партии – 0,7; ничьи – 0,2; проигрыша – 0,1. Составить закон распределения случайной величины Х – число выигранных партий первым шахматистом. Найти математическое ожидание МХ, дисперсию DХ и среднее квадратическое отклонение σ. Определить вероятность того, что число выигранных первым шахматистом партий находится между 2 и 4 Р(2≤Х≤4). Построить многоугольник распределения.
35. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
| Хi | -2 | |||
| Рi | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Найти функцию распределения F(x), МХ, DX, σ, вероятности Р (Х <2), P (-1<X< 4).
36. Случайная величина Х – число принимаемых за час звонков по мобильному телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков равно λ = 5. Определить вероятность того, что за час будет
а) принято ровно 3 звонка;
б) не менее двух звонков;
в) не более 5 звонков.
37. Случайная величина Х – число хромосом, изменяющихся в клетке под действием рентгеновских лучей, имеет распределение Пуассона с параметром λ = 0,5. Какова вероятность, что число изменившихся в клетке хромосом будет не более 3?
38. Случайная величина Х – число поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ = 6. Какова вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более пяти партий?
39. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид
F(x) = 
Найти значение параметра а, дифференциальную функцию распределения f(х) (плотность вероятностей), МХ, DХ, σ. Определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,5; 2). Построить графики F(x) и f(x).
40. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид
F(x) = 
Найти значение параметра а, дифференциальную функцию распределения f(х) (плотность вероятностей), МХ, DХ, σ. Определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (
).Построить графики F(x) и f(x).
41. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид
f(x) = 
Найти значение параметра а, интегральную функцию распределения F(х), МХ, DХ, σ. Определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 3). Построить графики F(x) и f(x)
42. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид
f(x) = 
Найти значение параметра а, интегральную функцию распределения F(х), МХ, DХ, σ. Определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (
). Построить графики F(x) и f(x)
43. Непрерывная случайная величина Х – время ожидания дождя в сутках имеет равномерное распределение на отрезке [0,30]. Найти плотность распределения случайной величины функцию f(x) и функцию распределения F(x), МХ, DX, σ, вероятности Р(Х<10), P(X>15). Построить графики F(x) и f(x).
44. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность, что ждать поезд придется не более полминуты? Найти среднее время ожидания поезда МХ.
45. Случайная величина Х – время безотказной работы прибора имеет показательное распределение с параметром λ = 0,003. Найти математическое ожидание МХ – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы в течение 1000 ч. Р(Х>1000).
46. Случайная величина имеет нормальное распределение N(a, σ) = N(1,3). Выписать функцию плотности распределения f(x). Найти вероятности Р(Х < 1), P(0 < X < 2).
47. Случайная величина имеет нормальное распределение N(a, σ) = N(2,1). Выписать функцию плотности распределения f(x). Найти вероятности Р(Х < 3), P(|X-2| < 3).
Математическая статистика
48. Построить полигон и гистограмму по заданной таблице, найти выборочное среднее, дисперсию, исправленную дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
| Интервалы | 0 - 2 | 2 - 4 | 4 - 6 | 6 - 8 | 8 – 10 |
| частоты |
49. Для случайно отобранных семи студентов средний экзаменационный балл оказался равным 3,5; 4; 4,5; 3; 3; 5; 3,5. Чему для них равен средний балл и чему равен разброс (среднеквадратическое отклонение).
50. С целью определения времени, затрачиваемого на подготовку к экзамену по математике, взяты выборочно 50 студентов. Результаты обследования приведены в таблице:
| Время подготовки в днях | |||||
| Число студентов |
Найти выборочное среднее, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и доверительный интервал, в который с надежностью 0,95 попадает среднее время подготовки.
51. Дано статистическое распределение выборки
| xi | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | 2,1 | 2,3 |
| ni |
1) Найти объем выборки;
2) построить полигон частот;
3) вычислить выборочное среднее;
4) вычислить выборочную дисперсию;
5) найти исправленную дисперсию;
6) вычислить выборное среднее квадратическое отклонение;
7) вычислить начальные моменты до 4-го порядка включительно;
8) вычислить центральные моменты до 4-го порядка включительно;
9) найти коэффициент асимметрии;
10) найти коэффициент эксцесса;
11) оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание при помощи доверительного интервала;
12) найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95
13) по полигону выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности и проверить ее по критерию Пирсона (χ2) при уровне значимости 0,05;
52. Проведено испытание 200 элементов на длительность работы. Результаты приведены в таблице.
| Интервалы (время в часах): x i – x i+1 | 0 - 5 | 5 - 10 | 10 - 15 | 15 - 20 | 20 - 25 | 25 - 30 |
| Частоты (кол-во элементов, проработавших в пределах интервала) n i |
1) Построить полигон частот.
2) Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону.
53. В некоторой местности в течение 300 суток регистрировалась среднесуточная температура воздуха. В итоге наблюдений было получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице. В первой строке указан интервал температуры в градусах, во – второй – частоты, т.е., количество дней, среднесуточная температура которых принадлежит этому интервалу.
| xоi-1-xoi | -40—(-30) | -30-(-20) | -20-(-10) | -10-0 | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 |
| ni |
1) Найти объем выборки;
2) построить гистограмму и полигон частот;
3) вычислить выборочное среднее;
4) вычислить выборочную дисперсию;
5) найти исправленную дисперсию;
6) вычислить выборное среднее квадратическое отклонение;
7) по полигону выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности и проверить ее по критерию Пирсона (χ2) при уровне значимости 0,05;
54. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n1 = 10 и n2 = 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:
| xi | 1,08 | 1,10 | 1,12 | 1,14 | 1,15 | 1,25 | 1,36 | 1,38 | 1,40 | 1,42 |
| yi | 1,11 | 1,12 | 1,18 | 1,22 | 1,33 | 1,35 | 1,36 | 1,38 | - | - |
Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью нулевая гипотеза
Н0: D(X) = D(Y), если принять уровень значимости 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н1: D(X) ≠ D(Y).
Литература
1) Гмурман В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1977 - 2008.
2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, - 2006.
3) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Издание 9 и далее. Том 2. – М.
4) Баскакова Ю.Л. Математика: теория вероятностей и математическая статистика. Методические указании для студентов экономических и инженерно-технических специальностей. Балашов, 2009.