Перевод чисел из одной системы счисления в другую

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Понятие информации

 

Само понятие информации (information) возникло от ла­тинского слова «information» – разъяснение, изложение и до середины 20 века предполага­ло сведения, передаваемые между людьми. В последние годы этот термин получил более широкое толкование – сведения, обмениваемые между людьми, человеком и автоматом, автоматом и автоматом; обмен сигна­лами в животном и растительном мире, передача признаков от клетки к клетке, от организма к организму.

Можно выделить две формы существования информации:

– статическая информация (книги, рисунки, записи, фото
и т. п.);

– динамическая информация (процессы передачи информации по кана­лам связи или в пространстве).

Информацию можно разделить на два вида: биологическую и социальную.

Биологическая информация обеспечивает жизнедеятельность отдель­но взятого живого организма. К разновидностям биологической инфор­мации относится генетическая информация. Генетическая информация – это получаемые от предков и заложенные в наследственных структурах организмов в виде совокупности генов программы о составе, строении и характере обмена составляющих организм веществ.

Социальная информация неразрывно связана с практической дея­тельностью человека, поэтому можно выделить столько типов и разно­видностей, сколько имеется видов деятельности человека. Например, юридическая, научная, техническая, технологическая, планово-экономи­ческая, финансовая и т. п.

Основными свойствами информации являются неразрывная ее связь с определенной саморазвивающейся системой, структурированность, смысл и ценность.

Структурированность информации –это свойство, которое позволяет выделять информацию из получаемых сигналов.

Смысл или семантические характеристики информации позволяют опре­делить цель и назначение информации (прагматические характеристики).

Ценность информации выражается в таких понятиях, как содержа­тельность, своевременность, полнота, достоверность, оперативность.

Понятие информации относится к основным понятиям науки об управ­лении и тесно связано с такими понятиями, как "информационный процесс" (information system) и "информационные системы" (information process). Информационным называется процесс, возникающий в результате ус­тановления связи между двумя объектами: источником (генератором) информации и приемником (получателем) информации.

Информационная система – это хранилище информации, снабженное средствами ввода, поиска, размещения и выдачи информации.

Под информацией понимаем любую совокупность сигналов, воздействий или сведений, которые система или объект воспринимает извне (входная информация), выдает в окружающую среду (выходная информация) или хранит в себе (внутренняя информация). Обмен информацией происходит посредством сигнала.

Сигнал – это материальный носитель информации (предмет, явление, процесс) в пространстве и во времени. Любой сигнал неразрывно связан с определенной системой, которая является системой связи или системой передачи информации и состоит из следующих модулей: источник, пере­датчик, канал связи, приемник и адресат. Источник информации задает некоторое множество сообщений. Генерация определенного сообщения заключается в выборе его из множества всех возможных. Сообщения бы­вают дискретными и непрерывными. Светофор или передача сообщения с помощью азбуки Морзе – примеры дискретного сигнала.

Особым видом сигналов являются знаки, которые в отличие от сигна­лов естественного происхождения создаются самоорганизующимися сис­темами и предназначаются для передачи и хранения информации. Есть знаки, входящие в четко организованную систему, и внесистемные зна­ки. Например: знаки дорожного движения, система цветов светофора, музыка, речь и языки, как естественные, так и искусственные. Внесис­темные знаки – это или остатки некогда существовавших знаковых сис­тем, или знаки, созданные временно, обычно в небольших коллективах людей. Например, языки жестов и поз.

 

Количество информации

Количество информации –числовая характеристика сигнала, которая не зависит от его формы и содержания и характеризует степень неопре­деленности, которая исчезает после выбора (получения) сообщения в виде данного сигнала.

Р. Хартли предложил в качестве меры неопределенности логарифм от числа возможностей. Обычно количество информации представляется в виде log₂ m, где m – число возможных выборов. Тогда стандартной единицей количества информации будет выбор из двух возможностей. Такая единица получила наименование бит и пред­ставляется одним символом двоичного алфавита, обычно это 0 или 1.

Системы счисления

 

Системой счисления называют способ наименования и записи чисел. За время существования человечества были созданы десятки сотен сис­тем счисления. Одни системы можно отнести к позиционным системам, другие к не позиционным, были смешанные системы счисления.

В непозиционных системах количественное значение символа опре­деляется только его изображением и не зависит от его места (позиции) в числе. Например, десятичное число 27 представляется в римской системе счисления

 

XXVII =10+10+5+1+1,

 

другими словами, количест­венное значение числа определяется суммой значений символов. Однако значение символа зависит от его места по отношению к другому симво­лу, то есть значение символа неоднозначно (например, IX = 9, а XI =11). В непозиционных системах счисления не представлены дробные и отрицательные числа.

Система счисления называется позиционной, если значение числа в ней определяется как цифрами, принятыми в системе, так и положением (позицией) этих цифр в числе. Закономерность построения позиционных чисел имеет простое математическое представление.

Основание системы – это целое положительное число, большее 1 и равное максимальному количеству различных символов, употребляемых в данной системе счисления. В частности, для десятичной системы счисления q =10.

Введем следующие обозначения:

q – основание системы счисления;

а_i –любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления (в случае десятичной системы – любая цифра из множества 0, 1, 2,..., 9);

i – индекс, который обозначает номер позиции, занимаемой цифрой в числе.

Позицию для целых чисел будем условно обозначать номерами 1, 2,..., n, а позиции в правильных дробях – номерами
-1, -2,..., - m. Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с осно­ванием q может быть записано следующим образом:

 

(1.1)

где удовлетворяет неравенству

 

0 < < q – 1 (1.2)

 

и принимает в этом диапазоне только целые значения, и называется весом i-го разряда. Формулу (1.1) будем называть общей формулой записи числа в позиционной системе счисления с произвольным целым основанием q. Тогда число А в десятичной системе счисления будет иметь вид:

 

Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответству­ет общепринятым названиям позиций - единицы, десятки, сотни, деся­тые доли, сотые доли и т.д. Например:

 

1325₁₀ = 1 * 10³ + 3 *10² + 2 * 10¹ + 5 * 10⁰;

67,09₁₀ = 6 * 10¹ + 7 * 10° + 0 * 10^-1 + 9 * 10^-2.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

^.

 

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

^.

 

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

^.

 

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления.

 

22₁₀=10110₂

 

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число 571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

 

571₁₀=1073₈

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

 

Пример. Число 7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

 

Для перевода из 2-ой в 8-ую и наоборот, из 2-ой в 16-ую
и наоборот, из 8-ой в 16-ую и обратно, используется таблица следующего вида:

 

 

ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ
	—
	—
	—
	—
	—
	—
	—	—
	—	—
	—	—
	—	—
	—	—
	—	—
	—	—
	—	—

 

При переводе в 8-ую систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ую или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.

 

3.1. Перевод дробных чисел из одной системы счисления
в другую

 

Процедура перевода десятичных чисел в р -ую систему счисления:

1. Перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]₁₀, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. Перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}₁₀, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p; изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

3. Результат будет иметь вид (х)_р = [х]_p, {х}_p.

 

Пример. Дано число 12,8₁₀. Необходимо перевести число 12,8₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение:

1. Переводим целую часть: 12₁₀ =1100₂;

2. Переводим дробную часть (полужирным выделены цифры, идущие в изображение мантиссы в двоичной системе):

 

0,8x2 =1,6; 0,6x2=1,2; 0,2x2=0,4; 0,4x2=0,8; 0,8₁₀=0,1100110₂;

 

3. Результат перевода: 12,8₁₀ = 1100,1100110011...₂.

Пример. Дано число 29,25₁₀. Перевести число 29,25₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Решение имеет вид

1) 29₁₀ = 35₈;

2) 0,25₁₀ = 0,2₈;

3) 29,25₁₀ = 35,2₈.

Пример. Дано число 79,26₁₀. Перевести число 79,26₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1) 79₁₀ = 4F₁₆;

2) 0,26₁₀ = 0,40₁₆;

3) 79,26₁₀ = 4F,4₁₆.

При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно.