Центральная симметрия является движением.
Доказательство:
Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.
При симметрии относительно точки O фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1.
Рассмотрим треугольники AOB и A1OB.
1) AO=OA1
2) BO=OB1 (так как A и A1, B и B1 — точки, симметричные относительно точки O)
3) ∠AOB=∠B1OA1 (как вертикальные)
Следовательно, треугольники AOB и A1OB равны (по двум сторонам и углу между ними).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно точ ки является движением. Что и требовалось доказать.
2. 
3. Радиус сферы находим по теореме Пифагора: R^2=8^2+15^2=64+225=289
R=17(см)
S сферы=4пиR^2=4*3,14*17^2=приблизительно 3629,84 (см^2)
Билет 6:
1. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Теорема. Осевая симметрия является движением. Доказательство:
Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.
При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.
Проведём отрезки AO1 и A1O1.Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).
∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)
∠B1O1A1=∠OA1O1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей A1O1)
Следовательно, ∠BO1A=∠B1O1A1.В треугольниках BO1A и B1O1A1:
1) ∠BO1A=∠B1O1A1;
2) BO1=B1O1;
3) AO1=A1O1.Следовательно, эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Что и требовалось доказать.
2. 
Билет 7:
Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.
Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.
Параллельный перенос - это частный случай движения, т.е. отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния Доказательство:
Точки Е и К лежат на одной прямой параллельной вектору 
.
По условию точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса 
и 
, поэтому 
, следовательно, 
, значит, ЕЕ1 = КК1. (1)
ЕК = КК1 + ЕК1, Е1К1 = ЕЕ1 + ЕК1, тогда, учитывая (1), получим: ЕК = Е1К1, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1. Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.
2. 
3. АВ = (4-5;-3-0;2-2)
→
АВ(-1;-3;0)
→ →
СD = (2-0;-4-0;-4-1)
→
СD(2;-4;-5)
Билет 8:
1. 
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.
2. 
Примеры движения в пространстве Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости).
3. В прямоугольном треугольнике ОСМ угол ОМС = 300, тогда катет, лежащий против этого угла, равен половине длины гипотенузы СМ, тогда СМ = 2 * ОС = 2 * 6 = 12 см.
Сечение конуса представляет собой треугольник СКМ у которого СК = СМ как образующие, а так как, по условию, угол КСМ = 600, то треугольник СКМ равносторонний, СК = СМ = КМ = 12 см.
Определим площадь сечения.
Sсеч = а2 * √3 / 4, где а – сторона треугольника.
Sсеч = 144 * √3 / 4 = 36 * √3 см2.
Ответ: Площадь сечения равна 36 * √3 см2.