Кафедра финансов и информационных технологий управления

ВОПРОСЫК ЗАЧЕТУ (с оценкой)

1. Теория вероятностей. События достоверные, невозможные, случайные. Действия над событиями. Статистическое и классическое определения вероятности события.

2. Теория вероятностей. Несовместные события. Вероятность суммы событий. Вероятность противоположного события.

3. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

5. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Предельная теорема Пуассона и приближённая формула Пуассона.

6. Схема испытаний Бернулли. Локальная формула Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа.

7. Случайные величины (СВ). Определение. Виды СВ. Функция распределения СВ и её свойства. Характеристики исчерпывающие и числовые.

8. Дискретные случайные величины. Исчерпывающие характеристики (ряд распределения, функция распределения). Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода).

9. Непрерывные случайные величины. Функция распределения . Функция плотности распределения и её свойства. Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана).

10. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

11. Непрерывные случайные величины. Равномерное распределение. Показательное распределение.

12. Непрерывные случайные величины. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Вероятность попадания в интервал.

13. Понятие случайного вектора на примере системы двух случайных величин. Геометрическая интерпретация. Функция распределения и её свойства. Двумерная дискретная случайная величина.

14. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Условные законы распределения составляющих. Независимость двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции и его свойства.

15. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

16. Статистические данные; генеральная и выборочная совокупности; объем совокупности. Суть выборочного метода. Репрезентативная выборка. Повторная и бесповторная выборка. Варианты. Частота и частость.

17. Представление статистических данных в виде таблиц и графиков: вариационный ряд, статистический ряд, интервальный статистический ряд. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения .

18. Числовые характеристики статистических рядов: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

19. Оценки параметров генеральной совокупности: несмещённая, состоятельная, эффективная. Точечные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

20. Оценка параметров генеральной совокупности. Два вида оценок. Интервальные оценки: доверительный интервал, доверительная вероятность , предельная ошибка выборки. Доверительный интервал для генеральной средней.

21. Оценка параметров генеральной совокупности. Интервальные оценки: доверительный интервал, доверительная вероятность , предельная ошибка выборки. Доверительный интервал для генеральной дисперсии.

22. Проверка статистических гипотез. Основные определения: статистическая гипотеза, основная и альтернативная гипотеза; простая и сложная гипотеза; критерий; ошибки I и II рода; уровень значимости, уровень доверия, мощность критерия. Процедура построения критерия.

23. Проверка статистических гипотез. Построение критерия. Критическая область. Принятие решения.

24. Проверка статистических гипотез. Гипотеза о численной величине среднего значения в случае известной и неизвестной дисперсии. Гипотеза о числовом значении дисперсии.

25. Проверка непараметрических гипотез. Критерий согласия Пирсона.

26. Основы корреляционного анализа. Основные определения. Способы представления данных. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства, эмпирическое корреляционное отношение.

27. Регрессионный анализ. Основные определения. Корреляционное поле. Линейная регрессия.

ТИПЫЗАДАЧ на зачет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

1 Вероятности появления каждого из трех независимых событий соответственно равны 0,2 0,4 и 0,3. Найти вероятность появления:

1) Только одного из этих событий;

2) Хотя бы одного из этих событий.

2 Имеются 35 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в 27 из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 4 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них ровно 3 упаковки с товаром первого сорта.

3 Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 78% первой партии и 84% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?

4 В ходе проверки аудитор случайным образом отбирает 15 счетов. Найти вероятность того, что он обнаружит ровно 5 счетов с ошибкой, если в среднем 3% счетов содержат ошибки.

5 В новом микрорайоне поставлено 1000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,003. Найти вероятность того, что за месяц откажут ровно 4 замка.

6 При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из 400 пар, поступившей в магазин, будут иметь дефекты отделки 20 пар?

7 Известно, что вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0,01. Какова вероятность того, что в течение 30 дней поезд опоздает на станцию от 3 до 5 раз?

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Найти математическое ожидание и СКО случайной величины Х, заданной законом распределения:

	-2
	0,3	0,25	0,45

2. Дан ряд распределения случайной величины Х

	-2
	0,15	0,3	р	0,35

Найти:

1) неизвестную вероятность ;

2) функцию распределения и построить ее график;

3) построить многоугольник распределения.

3. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 85%. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину. Найти среднее число попаданий.

4. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Составить ряд распределения числа выстрелов, производимых до первого поражения цели, если у стрелка 4 патрона.

5. Тристрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в неё для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,85. Составить ряд распределения числа попаданий в мишень.

6. Нормально распределенная случайная величина Х задана функцией плотности . Найти вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале (3;10).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным

2 Найти несмещённое выборочное среднее квадратичное отклонение на основании данного распределения выборки.

 

 

Основная литература:

1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. М., Юнити, 2006, 2010.
2. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: уч. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: АСТ, 2007. – 654 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: уч. пособие / В.Е. Гмурман. – 8–е изд., стереот. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: уч. пособие / В.Е. Гмурман. – 5–е изд., стер. – М.: Высшая школа,2001.– 400 с.
5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов: уч. пособие / под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 575 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу всех равновозможных исходов .

Задание №2

Суммой событий А и В называется такое событие С=А+В, которое означает наступление А или В, т.е. хотя бы 1 из них.

Произведением событий А и В называется такое событие С=А*В, которое означает совместное наступление А и В.

Пусть А и В несовместные события. Тогда вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей.

Если события А и В произвольные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей без вероятности их совместного появления.

Пусть А и В независимые события. Тогда вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей.

Если события А и В произвольные, то вероятность их произведения равна или

Задание №3 Формула полной вероятности

Задание №4 Схема испытаний Бернулли.

Формула Бернулли ,

Задание №5 Схема испытаний Бернулли.

А) локальная формула Муавра-Лапласа

, где , где

Б) интегральная формула Муавра-Лапласа

где

Задание №6 Дискретная СВ Х и её значения

Характеристики ДСВ

Ряд распределения График – многоугольник распределения – ломаная, соединяющая точки с координатами

Функция распределения Свойства: 1) 2) 3) - неубывающая функция

Математическое ожидание Некоторые свойства: Вероятностный смысл: приближенно равно среднему взвешенному наблюдаемых значений СВ.

Дисперсия Некоторые свойства: Вероятностный смысл: служит для оценки степени рассеивания значений СВ вокруг её математического ожидания

Среднее квадратическое отклонение (СКО) Некоторые свойства: Вероятностный смысл: мера рассеивания значений СВ вокруг её математического ожидания (размерность СКО совпадает с размерностью СВ Х)

Задание №7. Непрерывные случайные величины.

СВ, распределенная по нормальному закону, имеет плотность

Задание №8 Основы математической статистики. Первичная обработка выборки.

Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями, равными , и высотами, равными плотности частости.

- частота варианты , - объем выборки, - частость варианты ,
- плотность частости, - длина интервалов.

Задание №9 Основы математической статистики. Точечные оценки.

Точечной оценкой математического ожидания СВ Х является выборочное среднее

Точечной оценкой среднего квадратического отклонения СВ Х является несмещенной выборочное СКО . Несмещенная выборочная дисперсия . Выборочная дисперсия может быть вычислена по формуле .

 

Министерство образования и науки российской федерации

Тульский филиал

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова»

(Тульский филиал РЭУ им. Г.В. Плеханова)

 

Кафедра финансов и информационных технологий управления

 

Контрольная работа

По дисциплине

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вариант ___

номер студента в списке группы n =___

количество букв в фамилии студента m=___

количество букв в полном имени k =___

 

Выполнил(а): студент(ка) 2 курса заочной формы обучения сокращенная образовательная программа на базе среднего и высшего профессионального образования (по профилю) направления 38.03.02 «Менеджмент организации»   ____________________________________ Ф.И.О. полностью

Проверила: канд. техн. наук, доцент кафедры Ф и ИТУ Румянцева И.И.

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	∑
max
баллы

 

 

Тула

2017-2018 уч. г.

Вариант 1

Задание №1.

Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

1) равна k - 1;

2) не превосходит k;

3) больше m -2.

Задание №2.

В ящике находится n гвоздей, (n+2) шурупов и ( n+3 ) болтов.

1) Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что достали:

а) два шурупа; б) гвоздь и болт

2) Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что достали:

а) три болта; б) болт, гвоздь и шуруп.

Задание №3.

На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

Задание №4

Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0, n. Найдите вероятность того, что

1) будет два попадания;

2) будет менее трех попаданий;

Задание №5

Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:

а) не будут иметь дефекта 342 изделия;

б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий?

Задание №6

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Хi	-2	-1
рi	0,01	р	0,23	0,28	0,19	0,11	0,06

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) функцию распределения F(x) и построить её график;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

г) отразить математическое ожидание и СКО на многоугольнике распределения.

Задание №7

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно m, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:

1) напишите формулу функции плотности распределения вероятности и схематично постройте ее график;

2) найдите вероятность того, что СВ X примет значения из интервала , где ,

Задание №8

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным

 

	(3; 7]
	(7; 11]
	(11; 15]
	(15; 19]
	(19; 23]

Задание №9

Известно эмпирическое распределение выборки некоторой СВ Х:

 

							k+n
				25- m			8+ m

 

1. Найдите точечную оценку математического ожидания СВ Х и точечную оценку среднего квадратического отклонения СВ Х

2. Постройте полигон частот и отразите на нем значение выборочного среднего и выборочного отклонения.

 

k – количество букв в полном имени студента;

m – количество букв в фамилии студента;