Уравнения с двумя переменными x и y имеет вид f(x,y)=φ(x,y), где f и φ – выражения с переменными x и y.
Если в уравнении x(x−y)=4 подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1⋅(−1−3)=4. Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения x(x−y)=4.
То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.
Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.
Система вида {f1(x,y)=C1f2(x,y)=C2, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.
Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.
Утверждения о равносильности систем уравнений:
· если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
· если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
· если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.
Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.
ì x 2 + y 2 = 34,
| î |
Решим эту систему способом подстановки, выразив y через x из второго уравнения системы: y = x – 2. Подставляя это значение y в первое уравнение, получаем x 2 + (x – 2)2 =
34, откуда
x 2 – 2 x – 15 = 0,
x 1 = 5,
x 2 = –3.
По формуле y = x – 2 находим y 1 = 3, y 2 = –5.
Ответ: (5;3), (–3; –5).
ì2 x - y =3,
Задача 2. Решить систему уравнений í
î3 x 2
- 4 xy + y 2
= 5.
Эту систему также решим способом подстановки: y = 2 x – 3,
3 x 2 – 4 x (2 x – 3) + (2 x – 3)2 = 5,
3 x 2 – 8 x 2 + 12 x + 4 x 2 – 12 x + 9 = 5,
x 2 = 4,
x 1 = 2,
x 2 = –2.
По формуле y = 2 x – 3 находим y 1 = 1, y 2 = –7.
Ответ: (2;1), (–2; –7).
ì x + y =12,
| î |
Эту систему также можно решить способом подстановки. Однако если числа x, y таковы, что их сумма равна 12, а произведение равно 35, то по теореме, обратной теореме Виета,
они являются корнями уравнения z 2 – 12 z + 35 = 0, откуда
z 1 = 7,
z 2 =5.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел:
x 1 = 7,
y 1 = 5 и
x 2 = 5,
y 2 = 7.
Ответ: (7;5), (5;7).
ì3 x -4 y =2,
Задача 4. Решить систему уравнений í
î9 x 2
-16 y 2
= 20.
Запишем второе уравнение системы так:
(3 x – 4 y)(3 x + 4 y) = 20.
Подставляя в это уравнение значение 3 x – 4 y = 2, получаем
2(3 x + 4 y) = 20, т.е. 3 x + 4 y = 10.
Данная система свелась к системе
| í |
î3 x + 4 y = 10,
которую решим способом сложения:
Ответ: (2;1).
6 x = 12, x = 2; 8 y = 8, y = 1.
ì x + y +2 xy =10,
| î |
Складывая почленно уравнения системы, получаем 2 x + 2 y = 8, откуда y = 4 – x.
Подставляя это значение y в любое из уравнений системы, например во второе, получаем
х + 4 – х – 2 х (4 – х) = –2, откуда 4 – 8 х + 2 х 2 = –2,
2 х 2 – 8 х + 6 = 0, х 2 – 4 х + 3 = 0, х 1 = 1, х 2 = 3.
По формуле у = 4 – х находим у 1 = 3, у 2 = 1.
Ответ: (1; 3), (3; 1).
ì x 2 + y 2 = 13,
| î |
Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное на 2:
х 2 + 2 ху + у 2 = 25,
откуда
т.е. или у = 5 – х, или у = –5 – х.
(х + у)2 = 25, х + у = ±5,
Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений:
Решая каждую из этих систем (используя теорему, обратную теореме Виета), находим четыре решения: х 1 = 2, у 1 = 3; х 2 = 3, у 2 = 2; х 3 = –2, у 3 = –3; х 4 = –3, у 4 = –2.
Ответ: (2; 3), (3; 2), (–2; –3), (–3; –2).
ìï x 2 - xy + 2 y 2 = 16,
| î |
- 2 xy - 3 x 2
= 0.
| x 2 + 3 x 2 |
Выразим из второго уравнения у через х, решая его как квадратное относительно у:
y 1,2
= x ±
= x ± 2 x,
откуда у = 3 х или у = – х.
1) Подставляя у = 3 х в первое уравнение данной системы, получаем
х 2 – 3 х 2 +18 х 2 = 16,
16 х 2 = 16, х 2 = 1, х 1 = 1, х 2 = –1,
откуда у 1 = 3, у 2 = –3.
2) Подставляя у = – х в первое уравнение системы, получаем 4 х 2 = 16, х 2 = 4, х 3 = 2, х 2 = – 2, откуда у 3 = –2, у 4 = 2.
Ответ: (1; 3), (–1; –3), (2; –2), (–2; 2).
что
Задача 8. * При каких значениях а система
–2 < х < 2, –2 < у < 2?
ì x + y = a;
| î |
имеет рещения (х; у) такие,
Найдем решение системы, используя теорему, обратную теореме Виета:
| ( |
z 1,2
= 1 a ±
a 2 + 8 a 2),
z 1= 2 a,
z 2 = - a.
Поэтому решением системы являются пары чисел: (2 а; – а) и (– а; 2 а).
По условию должны выполняться неравенства –2 < 2 а < 2, –2 < – а < 2, откуда –1 < а < 1, – 2 < – а < 2.
| < а |
Домашнее задание