Вопросы, подлежащие изучению
1. Постановка задачи одномерной оптимизации.
2. Методы оптимизации: метод дихотомии; метод золотого сечения.
3. Условия сходимости методов.
4. Оценка погрешности оптимизации.
5. Графическая иллюстрация процесса оптимизации.
6. Сравнение методов по точности, эффективности деления отрезка унимодальности, по числу итераций, по числу отсчетов исследуемой функции.
Задание
1. Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 6-1 для решения задачи одномерной оптимизации, т.е. функцию y(x),минимум которой необходимо найти.
2. Провести исследование индивидуального варианта задания:
· построить график функции y(x)
· выбрать начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума);
· проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.
3. Провести «ручной расчет» трех итераций методом дихотомии и определить длину отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций. Результаты вычислений записать в табл. 6.2.
4. Провести «ручной расчет» трех итераций методом золотого сечения и определить длину отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций. Результаты вычислений записать в табл. 6.3.
Решить задачу оптимизации с помощью математического пакета.
Варианты задания
Таблица 6-1
| № вар. | y(x) | № вар. | y(x) |
| – 2 (1 + x) e–x – 2 cos(x) | sin(ex) – e–x + 1 | ||
(x – 1) 
| sin(x + 1) e2 / x | ||
| 10 sin(x3) cos(-x) | – 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x) | ||
| x2cos(x + 3) – 4 | 1 + sin(4x) / ln(x) | ||
| cos(x – 5) e2x / 3 | 2 sin(4x) ln(– x) – 3 | ||
| – 4 sin(x) + x1 / 2 | x3 / 2 – 2 x sin(x) | ||
| – 5 sin3(x) – cos3(x) | x sin(x) + cos(x) + 5 | ||
| – cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3 | e–x sin(2x) | ||
| x sin(x + 1) – cos(x – 5) | sin(2x) – 2 sin(x) | ||
| (1 + x2)1 / 2 + e–x | sin(2x) – x | ||
| – 8 sin(- x3) e–x | cos(– 2x) e–x | ||
| 5 e–x + 4 x + x3 / 3 | e–x sin(– 2x) | ||
| sin(x – 1) – x cos(x + 3) | e–x cos(– 2x) | ||
| 3 cos(x2) / ln(x + 5) | cos(x + 2) + cos(2x) + x | ||
| sin(x2) + 1 / (2 – x) | cos(2x) + 2 sin(x) |
Содержание отчета
1. Индивидуальное задание.
2. Результаты исследования индивидуального варианта задания:
· график функции y(x);
· начальный отрезок неопределенности;
· результаты проверки аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.
3. Результаты «ручного расчета» методом дихотомии, представленные в табл. 6.2, и длина отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций.
Таблица 6-2
| № итерации | a | b | x1 | x2 | y(x1) | y(x2) | 
|
4. Результаты «ручного расчета» методом золотого сечения, представленные в табл. 6.3, и длина отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций.
Таблица 6-3
| № итерации | a | b | x1 | x2 | y(x1) | y(x2) |
|
5. Результаты решения задачи оптимизации, полученные средствами математического пакета.
Пример выполнения задания
1. Задание для решения задачи одномерной оптимизации:
· функция, для которой необходимо найти минимум: 
;
2. Исследование задания:
· График функции y(x), выбор начального отрезка неопределенности и проверка условий унимодальности функции на выбранном отрезке.
   
|
Задача одномерной оптимизации имеет единственное решение в том случае, если функция f(x) на отрезке [a;b] имеет только один экстремум, т.е. функция унимодальна на зтом отрезке. Достаточными условиями унимодальности функции на отрезке [a;b] являются:
1) Длядифференцируемой функции f(x) ее производная f¢(х) - неубывающая.
2) Для дважды дифференцируемой функции f(x) выполняется неравенство f¢¢(х)³0.
Из приведенных расчетов видно, что на отрезке [-2; 3] функция y(x) – унимодальная: ее вторая производная y2(x)=cos(x)+2 всегда >0 (т.к. cos(x) не может быть меньше, чем -1), а первая производная монотонно возрастает. Следовательно, этот отрезок может быть выбран в качестве начального отрезка неопределенности.