ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Цель работы: научится рассчитывать настроечные параметры регуляторов методом расширенных частотных характеристик.
Постановка задачи: в качестве объекта исследования выступает объект управления, который описывается апериодическим звеном первого порядка с запаздыванием.
Необходимо:
1. Рассчитать расширенные частотные характеристики объекта для заданной степени колебательности m;
2. Определить настроечный параметр П – регулятора;
3. Рассчитать и построить кривую равной колебательности в плоскости параметров С1 и С0 для ПИ – регулятора;
4. Рассчитать и построить кривую равной колебательности в плоскости параметров С1 и С2 для ПД – регулятора;
5. Выбрать рабочую частоту и соответствующие ей оптимальные настройки;
6. Построить переходные процессы в системе с П-, ПИ-, ПД – регуляторами.
Теоретические сведения
|
| Рис. 1. Иллюстрация к понятию метода РАФХ. |
При изучении условий устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста было отмечено, что, если АФХ устойчивой разомкнутой системы проходит через критическую точку (-1; j0), то замкнутая система находится на границе устойчивости. В качестве границы устойчивости выступает мнимая ось комплексной плоскости корней характеристического уравнения. Введение степени колебательности m для получения РАФХ означает введение новой границы устойчивости вместо мнимой оси лучи AOB (рис. 1).
Тогда по аналогии с критерием Найквиста можно сформулировать условия, при которых замкнутая система будет обладать заданной степени колебательности m*.
Если разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже заданного значения m*, то замкнутая система обладает заданной степенью колебательности m*, если РАФХ разомкнутой системы проходит через критическую точку (-1; j0); если РАФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку (-1; j0), то замкнутая система имеет степень колебательности выше заданного значения m*.
Из сформулированного условия можно записать:
Wраз(m, jω)=Mраз(m,jω) ej φ(m, jω)=-1.
Учитывая, что Wраз(m, jω)= Wоб(m, jω) Wрег(m, jω); (разомкнутая система будет представлена последовательным соединением объекта и регулятора), получим:
Отсюда:
Частотные характеристики объекта и заданная степень колебательности являются исходными данными для расчета АСР, характеристики регулятора являются функцией неизвестных параметров настройки С(С0, С1, С2). Тогда система уравнений запишется в виде:
(1)
На первом этапе задача выбора оптимальных настроек регулятора сводится к решению системы уравнений (*), неизвестными в которых являются вектор параметров настроек С и рабочая частота ωр.
Очевидно, что для регуляторов с двумя или тремя параметрами настроек эта система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Это означает, что одного только ограничения по степени колебательности недостаточно для однозначного выбора оптимальных настроек регулятора и требуется какой-либо второй критерий качества.
При использовании метода расширенных частотных характеристик таким критерием выбран интегральный квадратичный критерий, для которого оптимальные настройки должны обеспечивать минимальное значение.
Таким образом на втором этапе расчета оптимальные настройки выбирают по минимуму интегрального критерия из числа тех настроек, которые обеспечивают заданную степень колебательности системы, т.е. являются решением уравнений (1). Рассмотрим подробнее методику выбора оптимальных настроек для типовых регуляторов.
П – регулятор имеет один параметр настройки С1. Его расширенные частотные характеристики совпадают с обычными, т.е.
В этом случае уравнения (1) принимают вид:
Рабочая частота ωр определяется из второго уравнения системы, а затем из первого находится оптимальная настройка С1.
ПИ – регулятор – регулятор с двумя параметрами настроек С1 и С0. Его расширенные частотные характеристики выводятся из передаточной функции подстановкой 
:
(с учетом того, что 
).
После подстановки полученных выражений в уравнения (1) выводятся формулы для настроек регуляторов в следующем виде:
. (2)
Поскольку в формулы для настроек входит неизвестная переменная ω, то, следовательно, существует бесчисленное множество настроек С1 и С0, обеспечивающих заданную степень колебательности в данной АСР, причем каждой паре настроек соответствует своя рабочая частота.
Если в плоскости параметров С1, С0 построить геометрическое место точек, соответствующих определенной степени колебательности m, получим кривую, называемую кривой равной колебательности (рис. 2)
Рис. 2. Плоскость параметров настроек ПИ-регулятора.
Принимая различные значения m, получим семейство кривых равной колебательности, каждая из которых разбивает плоскость параметров на две области: настройки, лежащие под кривой m* = сonst, обеспечивает себе степень колебательности, больше m*; область, расположенная под этой кривой, соответствует степени колебательности, меньшей, чем m*. Очевидно, что кривая m = 0 разбивает плоскость параметров настроек регулятора на области устойчивой и неустойчивой работы АСР.
Точки, лежащие на кривой равной колебательности, соответствует разным значениям рабочей частоты, причем при движении вдоль кривой слева направо частота увеличивается.
Сравним между собой процессы регулирования, соответствующие различным точкам на кривой равной колебательности (рис. 3).
Рис. 3. Примеры переходных процессов в АСР с ПИ-регулятором.
В точке 1 отсутствует интегральная составляющая в законе регулирования (С0 = 0) и в процессе регулирования появляется статическая ошибка. При незначительной интегральной составляющей (точка 2) статическая ошибка равна нулю, но скорость ее устранения мала и переходный процесс характеризуется затянутым «хвостом». Увеличение интегральной составляющей ускоряет устранение статической ошибки, но сопровождается уменьшением рабочей частоты (движением влево по кривой равной колебательности) и некоторым ростом динамической ошибки (точка 4). Переход через вершину кривой влево (точка 5) резко ухудшает качество переходного процесса, так как одновременно с уменьшением С1 уменьшается и С0.
Расчет интегрального квадратичного критерия для рассмотренных процессов показывает, что его минимум соответствует точке на кривой равной колебательности на правой ветви вблизи вершины. На практике рекомендуется выбирать рабочую частоту из соотношения: 
или 
, где ωп – частота, соответствующая П – регулятору (точка 1); ω* - частота, соответствующая вершине кривой равной колебательности.
Таким образом, методика расчета оптимальных настроек ПИ – регулятора сводится к следующему:
- расчет расширенных частотных характеристик объекта для заданной степени колебательности m*;
- расчет и построение кривой равной колебательности m = m* в плоскости параметров С1 и С0 по формулам;
- выбор рабочей частоты ωр и соответствующих ей оптимальных настроек.
Аналогично рассчитываются настроечные параметры для ПД – регулятора.
Последовательность выполнения работы
Работа выполняется в следующей последовательности:
1. По графику кривой разгона объекта определить передаточную функцию объекта;
2. Рассчитать расширенные частотные характеристики объекта для заданной степени колебательности m = 0.221;
3. Определить настроечный параметр П – регулятора;
4. Рассчитать и построить кривую равной колебательности в плоскости параметров С1 и С0 для ПИ – регулятора;
5. Выбрать оптимальную пару настроек, соответствующие рабочей частоте;
6. Рассчитать и построить кривую равной колебательности в плоскости параметров С1 и С2 для ПД – регулятора;
7. Выбрать оптимальную пару настроек, соответствующие рабочей частоте;
8. Запустить систему MatLab;
9. Получить передаточные функции замкнутых систем, состоящих из заданного объекта и полученных регуляторов
10. Построить переходные процессы в системе с П-, ПИ-, ПД – регуляторами.
Методический пример
1. Дана кривая разгона объекта, соответствующая апериодическому звену первого порядка с запаздыванием (рис. 4).
Рис. 4. График переходной характеристики
Передаточная функция объекта имеет вид
.
Параметры передаточной функции определяются так, как показано на рисунке.
Пусть К = 0.5; τ = 1.5; Т = 1.2. Тогда передаточная функция будет равна:
2. Определяем расширенные частотные характеристики объекта для заданной степени колебательности m = 0.221:
РАФХ: 
;
РАЧХ: 
;
РФЧХ: 
.
3. Настроечный параметр П – регулятора, обеспечивающий в замкнутой системе переходный процесс с заданной степенью колебательности определяем из системы:
.
С1 = 2.2.
4. Для расчета кривой равной колебательности в плоскости настроек ПИ – регулятора, подставим расширенные частотные характеристики объекта в формулы (2) и, задаваясь различными значениями ω, строим график в плоскости параметров С1 и С0 (рис. 5).
Рис. 5. Кривая равной колебательности в плоскости настроек ПИ-регулятора.
5. Выбираем рабочую частоту из соотношения: , где ω* - частота, соответствующая вершине кривой равной колебательности. При ωр = 1 получаем следующие значения настроек ПИ-регулятора:
С1 = 1.9; С0 = 1.2.
6. Аналогично строим кривую равной колебательности для ПД – регулятора (рис. 6) по следующим формулам:
.
Рис. 6. Кривая равной колебательности в плоскости настроек ПД-регйлятора.
7. Оптимальные настройки ПД – регулятора соответствуют вершине кривой равной колебательности: ωр = 2.4; С1 = 6; С2 = 1.4.
8. Создаем LTI-объект с именем w. Передаточная функция объекта имеет вид:
.
Для приведения ее к дроби, в которой и числитель и знаменатель имели бы вид алгебраических полиномов, воспользуемся аппроксимацией 
с помощью функции pade: [num,den]=pade(τ,n).
9. Передаточную функцию разомкнутой системы w1 найдем, перемножив передаточные функции объекта и регулятора.
Передаточную функцию замкнутой системы w2 определим с помощью команды feedback.
10. На рис. 7 представлены графики переходных процессов, соответствующие замкнутой системе с П- регулятором (а), ПИ-регйлятором (б) и ПД – регулятором (в), полученные с помощью команды step и сравнительная переходная хврвктеристика для всех трех систем.
а)
б)
в) 
д)
Рис. 7. переходные процессы в замкнутой системе
а – с П-регулятором; б – с ПИ-регулятором; в – с ПД-регйлятором; д - обобщенная характеристика.
Контрольные вопросы
1. Что такое степень колебательности m?
2. Сформулируйте суть метода РАФХ для определения оптимальных настроек.
3. Можно ли найти оптимальные настройки для П- и И – регуляторов методом РАФХ?
4. Укажите последовательность расчета настроек методом РАФХ.
5. Как строится кривая равной колебательности?
6. Можно ли в плоскости настроек определить область устойчивых и неустойчивых параметров регулятора?
7. Какому значению m соответствует граница устойчивости в плоскости настроечных параметров регулятора?