Лекция 4
Раздел 1. Механика абсолютно твердого тела. Статика.
Тема: Определение реакций опор в двухопорных балках.
Продолжим разговор о нахождении опорных реакций в простых балках на двух опорах. Напомню, что если на балку действуют внешние силы, то в ней возникают внутренние усилия – поперечная сила и изгибающий момент, а со стороны опор возникают опорные реакции. Это можно объяснить следующим примером. Представьте, что Вы переходите через канаву по доске, которая опирается с двух сторон на землю. Под Вашим весом доска прогибается (пружинит). Когда Вы сойдете с доски, то она вернется в первоначальное положение. Это означает, что внутри этой доски (тела) возникают внутренние усилия, которые противодействуют внешней нагрузке. Они стараются вернуть доску (балку) в исходное положение. Если эти силы будут больше порога прочности балки, то она сломается. Что бы определить этот порог, выполняются расчеты на прочность. В точках, где доска опирается на землю, возникают опорные реакции. Почему возникают опорные реакции, объясняет одна из аксиом статики. Как пример: на столе лежит книга, своим весом она давит на стол. Стол (в этом случае связь) отвечает книге тем же, т.е. давит на книгу с такой же силой, но направленной в противоположную сторону. Эта сила и есть реакция связи. Если считать ось Y, направленной вверх и применять правило знаков (если сила совпадает с положительным направление оси, то ее берут со знаком «+»), то наша реакция будет со знаком «+», а вес книги (он определяется силой притяжения земли) будет со знаком «-». Напомню, что в статике мы рассматриваем системы, которые находятся в равновесии. Условие равновесия: Сумма всех сил, действующих на тело (балку) равна нолю. Это означает, что сумма внешних сил (их может быть одна или несколько) и сумма опорных реакций равна нолю: Ʃ F =0. Но т.к. опорных реакций две (при вертикально действующей силе) или три (если сила приложена к балке под углом), то мы получаем уравнение с двумя или тремя неизвестными. Такое уравнение мы не можем решить. В данном случае поступают по-другому. Составляют уравнения равновесия. Для плоской системы произвольно расположенных сил существует два вида уравнений равновесия.
Уравнения вида 1: Ʃ Х =0; Ʃ Y =0; Ʃ MA(B) =0.
Уравнения вида 2: Ʃ MA =0; Ʃ MB =0; Ʃ Х =0 или Ʃ Y =0.
Это обобщенная форма записи уравнений, которая означает следующее.
Ʃ Х =0; Ʃ Y =0 - это сумма проекций сил, действующих на балку на оси координат Х и Y соответственно.
Ʃ MA =0; Ʃ MB =0 – Это сумма моментов сил, действующих на балку, относительно опор А и В.
При нахождении опорных реакций удобнее пользоваться уравнениями вида 2. В этом случае составляется два уравнения равновесия для моментов относительно опор А и В. Решая эти уравнения находим неизвестные опорные реакции. Уравнение Ʃ Х =0 используется для нахождения горизонтальной опорной реакции НА (в случае, когда внешняя нагрузка F приложена к балке под углом). Напомню, что при вертикальной нагрузке (F перпендикулярна к продольной оси балки) эта реакция равна нолю (НА=0). Уравнение Ʃ Y =0 используется в этом случае для проверки правильности найденных опорных реакций. Использование уравнений вида 1 не позволяет выполнить проверку. Поэтому их лучше использовать тогда, когда Вы полностью уверены в правильности решения. Поэтому при сложных нагрузках лучше пользоваться уравнениями вида 2.
Материал по нахождению опорных реакций и построению эпюр есть в любом учебнике по технической механике. Проблема в том, что в большинстве учебников приводятся типовые варианты решения таких задач, без объяснения общих принципов. Наиболее понятно материал представлен в учебнике В.И. Сеткова, который я Вам рекомендовал. Но и в этом учебнике, на мой взгляд, что касается представления изучаемого материала тоже есть недостатки. Автор разбивает все задачи на шесть видов, причем там есть ошибки (скорее всего, они появились при наборе учебника). Я сторонник не запоминания материала, а понимания общих принципов. Это дает возможность решать любые задачи, вне зависимости от их сложности.
Далее приступим к нахождению опорных реакций в двухопорных балках, начиная с простых вариантов действия нагрузок. Также будут ссылки на рисунки.
Условия для всех задач одинаковые: необходимо найти опорные реакции.
Прежде чем приступать к решению задач, объясню, что бывает два вида нагрузок:
Сосредоточенная нагрузка, когда сила F приложена к балке (телу) в одной точке (рисунок 16);
Распределенная нагрузка, когда сила приложена ко всей балке или к какой- то части балки (рисунки 17, 18). Такую нагрузку принято обозначать буквой q. Измеряется она в килоньютонах деленными на метр, т.к. это нагрузка, действующая на единицу длины балки. При решении задач эту нагрузку необходимо преобразовать в сосредоточенную по формуле: F=q×L, где L – это длина участка балки к которому приложена нагрузка q. (не путайте с длиной балки L, если она так обозначена, а нагрузка q приложена к части балки.
Задача 1.
Самый простой вариант, когда внешняя сила F вертикальна и приложена по середине балки (рисунок 19). В этом случае опорные реакции находятся очень просто делением приложенной нагрузки пополам. Необходимости в составлении уравнений равновесия нет. Например, если F = 10 кН, то реакции RA= Rв=F/2=5 кН. Это означает, что если на доске, перекинутой через канаву по середине стоит человек весом 100 кГ, то его вес равномерно распределяется по опорам и на каждой из них будет нагрузка и соответственно реакции по 50 кГ. Если несколько сил, одинаковых по величине равномерно распределены по длине балки, то реакции находят делением суммы этих сил пополам (рисунок 20).
Можно выполнить проверку, используя уравнение Ʃ Y =0. Напомню, что это сумма проекций сил на ось Y. Систему координат лучше расположить с началом на опоре А (рис.20). При вертикальной нагрузке сумма проекций сл F на ось Х равна нолю, а сумма проекций этих сил на ось Y равна величине каждой из этих сил. Т.е. в данном случае можно не заморачиваться и тупо складывать силы и опорные реакции. Обращаю Ваше внимание, что при наклонной нагрузке так проверку выполнять нельзя. Почему – поймете, когда будем решать другие задачи. И еще. Если человек стоит на доске не посередине, или если стоит взрослый человек и мальчик, у которых вес разный, то так просто задача не решается. Для этого необходимо составлять уравнения равновесия. Но это материал следующей лекции.