Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7 » неизвестное «x ».
Важно! 
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
· перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
· разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7 » всё что содержит «x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.
При «x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.
| x = 7 − 5y | |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь, вместо «x » подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y » из первого уравнения.
| x = 7 − 5y | |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо «x » выражение «(7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).
| x = 7 − 5y | |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
− 17y = − 17 |:(−17)
y = 1
Мы нашли, что «y = 1 ». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y » и вместо «y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x ». Запишем в ответ оба полученных значения.
| x = 7 − 5y | |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 | |
| y = 1 |
| x = 2 | |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
Запомните! 
При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 | ||
| + => | x + 5y + 3x − 2y = 11 | ||
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
| x + 5y = 7 | |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы при сложении неизвестное «x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x » стоял коэффициент «−3 ».
Для этого умножим первое уравнение на «−3 ».
Важно!
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) | |
| 3x − 2y = 4 |
| x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) | |
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 | |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y) + (3x − 2y) = −21 + 4 | ||
| + => | −3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4 | ||
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) | ||
| y = 1 |
Мы нашли «y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y » полученное числовое значение и найдем «x ».
| x = 7 − 5y | |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 | |
| y = 1 |
| x = 2 | |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения способом подстановки
| x − 3y = 17 | |
| x − 2y = −13 |
Выразим из первого уравнения «x ».
| x = 17 + 3y | |
| x − 2y = −13 |
Подставим вместо «x » во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y | |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30 » и найдем «x ».
| x = 17 + 3y | |
| y = −30 |
| x = 17 + 3 · (−30) | |
| y = −30 |
| x = 17 −90 | |
| y = −30 |
| x = −73 | |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) | |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 | |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 | |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 | |
| 2x −2y + 3y = 4 |
| 2x − 3y = −4 | |
| 2x + y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только «y ».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1 ».
| 2x − 3y = −4 |·(−1) | |
| 2x + y = 4 |
| 2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) | |
| 2x + y = 4 |
| −2x + 3y = 4 | |
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y » в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y) + (2x + y) = 4 + 4 | ||
| + => | −2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 | ||
| 2x + y = 4 | 4y = 8 |:4 | ||
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2 » и найдем «x ».
| −2x + 3y = 4 | |
| y = 2 |
| −2x + 3 · 2 = 4 | |
| y = 2 |
| −2x + 6 = 4 | |
| y = 2 |
| −2x = −2 |:(−2) | |
| y = 2 |
| x = 1 | |
| y = 2 |
Ответ: x = 1; y = 2