Вычисление длин и площадей

Задание 15 Практические задачи по геометрии

1. Площадь пря­мо­уголь­но­го земельного участ­ка равна 9 га, ши­ри­на участка равна 150 м. Най­ди­те длину этого участ­ка в метрах.

2. Найдите пе­ри­метр прямоугольного участ­ка земли, пло­щадь которого равна 800 м² и одна сто­ро­на в 2 раза боль­ше другой. Ответ дайте в метрах.

3. Сколько досок дли­ной 3,5 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 20 мм вый­дет из че­ты­рех­уголь­ной балки дли­ной 105 дм, име­ю­щей в се­че­нии прямоугольник раз­ме­ром 30 см 40 см?

4. Определите, сколь­ко необходимо за­ку­пить пленки для гид­ро­изо­ля­ции садовой дорожки, изоб­ра­жен­ной на рисунке, если её ши­ри­на везде одинакова.

5. Дизайнер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бумагой. По ри­сун­ку определите, сколь­ко бу­ма­ги (в см²) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность чемодана, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без загибов).

6. На карте по­ка­зан путь Лены от дома до школы. Лена из­ме­ри­ла длину каж­до­го участка и под­пи­са­ла его. Ис­поль­зуя рисунок, определите, длину пути (в м), если мас­штаб 1 см: 10000 см.

7.

Скло­ны горы об­ра­зу­ют с го­ри­зон­том угол , ко­си­нус которого равен 0,8. Рас­сто­я­ние по карте между точ­ка­ми A и B равно 10 км. Опре­де­ли­те длину пути между этими точ­ка­ми через вер­ши­ну горы.

8. Глубина бас­сей­на со­став­ля­ет 2 метра, ши­ри­на — 10 метров, а длина — 25 метров. Най­ди­те сум­мар­ную пло­щадь бо­ко­вых стен и дна бас­сей­на (в квад­рат­ных метрах).

9. Пол ком­на­ты, име­ю­щей форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 9 м, тре­бу­ет­ся по­крыть пар­ке­том из пря­мо­уголь­ных до­ще­чек со сто­ро­на­ми 10 см и 25 см. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся таких до­ще­чек?

10. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся ка­фель­ных пли­ток квад­рат­ной формы со сто­ро­ной 20 см, чтобы об­ли­це­вать ими стену, име­ю­щую форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 3 м и 4,4 м?

11. Две трубы, диа­мет­ры ко­то­рых равны 7 см и 24 см, тре­бу­ет­ся за­ме­нить одной, пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния ко­то­рой равна сумме пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний двух дан­ных. Каким дол­жен быть диа­метр новой трубы? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

12. Сколь­ко досок дли­ной 4 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 30 мм вый­дет из бруса дли­ной 80 дм, име­ю­ще­го в се­че­нии пря­мо­уголь­ник раз­ме­ром 30 см × 40 см?

13.

Наклонная крыша уста­нов­ле­на на трёх вер­ти­каль­ных опорах, рас­по­ло­жен­ных на одной прямой. Сред­няя опора стоит по­се­ре­ди­не между малой и боль­шой опо­ра­ми (см. рис.). Вы­со­та сред­ней опоры 3,1 м, вы­со­та боль­шей опоры 3,3 м. Най­ди­те вы­со­ту малой опоры.

14.

Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 19 см и 32 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1080 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

15. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 30×50×90 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 2,4×3×2,7 (м)?

16. Медиана равностороннего треугольника равна . Найдите сторону этого треугольника.

17. Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите биссектрису этого треугольника.

18.

Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 11 см и 13 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 675 см . Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

19. Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите медиану этого треугольника.

20. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 40×80×100 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 3,2×3,2×8 (м)?

Подобие треугольников

1. Проектор пол­но­стью освещает экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 250 см от проектора. На каком наи­мень­шем расстоянии (в сантиметрах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 160 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки проектора оста­ют­ся неизменными?

2. Человек ро­стом 1,7 м стоит на рас­сто­я­нии 8 шагов от столба, на ко­то­ром висит фонарь. Тень че­ло­ве­ка равна че­ты­рем шагам. На какой вы­со­те (в метрах) рас­по­ло­жен фонарь?

3. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 2 м, если длина его тени равна 1 м, вы­со­та фо­на­ря 9 м?

4. Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

 

Разные задачи

1. Два па­ро­хо­да вышли из порта, сле­дуя один на север, дру­гой на запад. Ско­ро­сти их равны со­от­вет­ствен­но 15 км/ч и 20 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в километрах) будет между ними через 2 часа?

2. В 60 м одна от дру­гой растут две сосны. Вы­со­та одной 31 м, а дру­гой — 6 м. Най­ди­те расстояние (в метрах) между их верхушками.

3. На карте по­ка­зан путь Лены от дома до школы. Лена из­ме­ри­ла длину каж­до­го участка и под­пи­са­ла его. Ис­поль­зуя рисунок, опре­де­ли­те длину пути (в м), если мас­штаб 1 см: 10 000 см.

4. Сколько всего осей сим­мет­рии имеет фигура, изображённая на рисунке?

5. Определите вы­со­ту дома, ши­ри­на фа­са­да ко­то­ро­го равна 8 м, вы­со­та от фун­да­мен­та до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

6. Лестница со­еди­ня­ет точки и , рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 25 м. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те вы­со­ту (в метрах), на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лестница.

7. Обхват ство­ла секвойи равен 4,8 м. Чему равен его диа­метр (в метрах)? Ответ округ­ли­те до десятых.

8. На­клон­ная крыша уста­нов­ле­на на трёх вер­ти­каль­ных опо­рах, рас­по­ло­жен­ных на одной пря­мой. Сред­няя опора стоит по­се­ре­ди­не между малой и боль­шой опо­ра­ми (см. рис.). Вы­со­та малой опоры 1,8 м, вы­со­та боль­шой опоры 2,8 м. Най­ди­те вы­со­ту сред­ней опоры.

Теорема Пифагора

1. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

2. От стол­ба к дому на­тя­нут провод дли­ной 10 м, ко­то­рый закреплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Вы­чис­ли­те высоту столба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

3. Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м?

4.

Мальчик про­шел от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 800 м. Затем по­вер­нул на север и про­шел 600 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

5. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 500 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 300 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла еще 100 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

6. Мальчик и девочка, рас­став­шись на перекрестке, пошли по вза­им­но перпендикулярным дорогам, маль­чик со ско­ро­стью 4 км/ч, де­воч­ка — 3 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в километрах) будет между ними через 30 минут?

7. Глубина кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лестницы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м больше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лестницы.

8. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 20 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 800 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 200 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

9. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 35 ступеней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в метрах).

10. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса.

11.

От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 17 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 15 м.

12. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 880 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 900 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 400 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

13. Мальчик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 400 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 90 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

14. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

15. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в метрах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

16.

Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 20 сту­пе­ней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 16,5 см, а длина — 28 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в мет­рах).

17.

Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 10 м. Най­ди­те вы­со­ту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в мет­рах).

18.

По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

19.

Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 12 м

от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.

20.

Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 5,5 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 4,8 м. Най­ди­те длину троса. Ответ дайте в мет­рах.

21.

Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

22.

Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от земли до точки креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии. Ответ дайте в мет­рах.

23. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном положении, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флагштока до места креп­ле­ния троса на земле равно 1,6 м. Най­ди­те длину троса в метрах.

24. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном положении, на­хо­дит­ся на вы­со­те 4,4 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флагштока до места креп­ле­ния троса на земле равно 3,3 м. Най­ди­те длину троса в метрах.

25. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 10,5 см, а длина равна 36 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 7,5 м. Най­ди­те высоту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в метрах).

26. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 30 ступеней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 16 см, а длина равна 63 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в метрах).

Углы

1. Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

2. На рисунке изображено колесо с пятью спицами.

Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 18°?

3. Какой угол (в градусах) об­ра­зу­ют минутная и ча­со­вая стрелки часов в 5 ч?

4. Какой угол (в градусах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 10 мин?

5. На какой угол (в градусах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся минутная стрел­ка пока ча­со­вая проходит ?

6. Человек ро­стом 1,8 м стоит на рас­сто­я­нии 12 м от столба, на ко­то­ром висит фо­нарь на вы­со­те 5,4 м. Най­ди­те длину тени че­ло­ве­ка в метрах.

7. Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в метрах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

8. Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 4 м. На какую вы­со­ту (в метрах) под­ни­ма­ет­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го опускается на 0,5 м?

9. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 340 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 60 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 420 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

10. Сколь­ко спиц в ко­ле­се, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми равен 8°?

11. На сколь­ко гра­ду­сов по­вер­нет­ся Земля во­круг своей оси за 7 часов?

12. За сколь­ко часов Земля по­вер­нет­ся во­круг своей оси на 120°?

13. На ри­сун­ке показано, как вы­гля­дит ко­ле­со с 7 спицами. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла (в градусах), ко­то­рый об­ра­зу­ют две со­сед­ние спицы, если в ко­ле­се 45 спиц.