Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя.

1. Любой квадратной матрице А n-го порядка можно поставить в соответствие выражение det A, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А (обозначается Δ или ), следующим образом:

1. n = 1

2. n = 2

вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой

3. n = 3

при вычислении определителя 3-го порядка удобно использовать правилом треугольников, которое символически можно записать так:

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

2. Основные свойства определителей:

- определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать) – это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов;

- при перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный;

- общий множитель всех элементов строки (или столбцов) можно вынести за знак определителя;

- определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю;

- если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю;

- если к какой-либо строке (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины;

- треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали.

3. Минором элемента определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

4. Алгебраическим дополнением элемента определителя D называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается .

5. Теорема о разложении определителя по элементам строки и столбца: сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю