Дифференциальные уравнения первого порядка
С разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, функцию и её производную или дифференциал:
F (х, у, у¢) = 0
Данное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядка.
Общим решением или общим интегралом называется такое решение, которое
обращает это уравнение в тождество и содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольной постоянной.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Диффренциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
у¢ = f(x) y(y).
Если производную функции выразить через дифференциал функции, то уравнение примет вид:
= f(x)y(y)
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными приводится к дифференциальному уравнению с разделенными переменными:
= f(x)dx
После интегрирования каждой части уравнения получается решение вида:
y = у (х, С)
Пример
Найти общее решение дифференциального уравнения:
3у2 dу = 4х3 dх
Решение
В данном уравнении переменные уже разделены, следовательно нужно проинтегрировать каждую часть уравнения
ò3у 2 dy = ò 4 x 3 dx
y3 = х4 + С
Пример
Найти частное решение дифференциального уравнения
xdу = уdх, если у = 6 при х = 2
Решение
В данном уравнении переменные не разделены, поэтому проведем разделение переменных:
= 
,
Проинтегрируем каждую часть уравнения с использованием таблицы интегралов:
ln у = ln x + ln C, так как произвольное постоянное С может принимать
любые численные значения, то для удобства записали lnC.
Пропотенцировав равенство получим общее решение:
y = Сх
Найдем частное решение. Подставим значения х =2 и у = 6 в уравнение, от-
куда получили, что С = 3.
Запишем частное решение: у = 3х.
Ответ: частное решение дифференциального уравнения у = 3х.
7.3.Однородные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Однородной функцией переменных f(x,y) называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень. Например: f(x,y) = 3х2 + 4ху – однородная функция второй степени.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
f(x,y) dx = y (x,y) dy,
где f(x,y), y(x,y) – однородные функции первого порядка.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными посредством подстановки у = v• x, где v – новая функция от х.
Пример
Найти общее решение однородного уравнения
(x+y)dx – xdy = 0
Решение
Положим, что у = vx, где v –новая функция от х.
Найдем дифференциал произведения:
dy= xdv + vdx
Запишем уравнение с новой функцией v:
(х + vx) dx – x(xdv + vdx) = 0
После преобразований получим:
dx – xdv = 0
Разделим переменные:
dv = , после интегрирования получим: v = lnx + lnC или v = ln(Cx)
Тогда у = х ln(Cx) – общее решение дифференциального уравнения.
7.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид:
+ f(x)× y + y (x) = 0
Эти уравнения приводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = u• z, где u и z - новые функции от х.
Линейные однородные дифференциальные уравнения