Урок: Повторение теории. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: (рис. 1).

Рис. 1.

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α: . Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (рис. 2).

Рис. 2.

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: (рис. 3).

Рис. 3.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пусть дана прямая а и плоскость (рис. 4). В плоскости лежит прямая b, которая параллельна прямой а. Из параллельности прямых а и b вытекает параллельность прямой а и плоскости .

Рис. 4.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть дана прямая а, параллельная плоскости (рис. 5). Через прямую а проходит плоскость . Плоскость и пересекаются по прямой b. Значит, прямые а и b параллельны.

Рис. 5.

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Прямая а параллельна плоскости . Прямые а и b параллельны. Значит, прямая b либо параллельна плоскости (рис. 6), либо лежит в плоскости (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С: (рис. 8). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 8.

2) Прямые a и b параллельны: a || b (рис. 9). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 9.

3) Прямые a и b скрещиваются (рис. 10). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 10.

Определение скрещивающихся прямых

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая а лежит в плоскости . Прямая b пересекает плоскость в точке С, которая не лежит на прямой а (рис. 11). Признак утверждает, что прямые а и b – скрещивающиеся.

а и b – скрещивающиеся прямые.

Рис. 11.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Прямые а и b скрещиваются (рис. 12). По теореме, через прямую а проходит единственная плоскость, параллельная прямой b. А через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой а.

Рис. 12.

Угол между прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а₁, параллельную прямой а, и прямую b₁, параллельную прямой b (рис. 13). Прямые а₁ и b₁ пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а₁ и b₁, угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми а и b.

Рис. 13.

Точку можно взять любую. Например, возьмем точку О₁ (рис. 14). Угол будет тот же в силу теоремы об углах с сонаправленными сторонами.

Рис. 14.

Угол между пересекающимися прямыми

Углом между пересекающимися прямыми, называется наименьший из углов между ними.

Определение параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Пусть даны плоскости и (рис. 15). В плоскости лежат пересекающиеся прямые а и b. В плоскости проведена прямая а’, параллельная прямой а, и прямая b’, параллельная прямой b. По признаку, плоскости и параллельны.

Рис. 15.

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (рис. 16). Значит, по свойству, прямые а и b параллельны.

Рис. 16.

Свойство 2.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые m и n, которые пересекают эти плоскости (рис. 17). Отрезки АВ и СD прямых m и n соответственно, которые заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 17.

Свойство 3.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Для наглядности параллельные плоскости , , спроектируем на плоскость экрана в виде прямых линий (рис. 18) Отметим на рисунке длины отрезков - а, b, а₁, b₁.

Из точки О проведем прямую, параллельную второму отрезку. Получаем теорему Фалеса: . То есть, параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Рис. 18.

Задача 1

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А₁, В₁ и С₁, а другую в точках А₂, В₂, С₂ (рис. 19). Докажите, что треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Рис. 19.

Доказательство

Пусть данные три прямые пересекаются в точке S.

По свойству 1, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Плоскости А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны и пересечены плоскостью SА₁B₁. Значит, линии пересечения А₁B₁ и А₂В₂ параллельны. Аналогично, плоскость SВ₁С₁ рассекает плоскости А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ по параллельным прямым В₁С₁ и В₂С₂. А плоскость SА₁С₁ рассекает плоскости А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ по параллельным прямым А₁С₁ и А₂С₂.

Способ.

Углы А и А­­₁ равны как углы с сонаправленными сторонами. Углы С и С­­₁ также равны как углы с сонаправленными сторонами. Значит, треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны по двум углам.

Способ.

Треугольники SА₁B_{1 ­} и SА₂B₂ подобны, так как прямые А₁B₁ и А₂В₂ параллельны. Треугольники SС₁B_{1 ­} и SС₂B₂ подобны, так как прямые С₁B₁ и С₂В₂ параллельны. Треугольники SА₁С_{1 ­} и SА₂С₂ подобны, так как прямые А₁С₁ и А₂С₂ параллельны. Из подобия следует:

Из пропорциональности трех сторон вытекает подобие треугольников SА₁B_{1 ­} и SА₂B_2.

Задача 2

Параллельные отрезки А₁А₂, В₁B₂, C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями и (рис. 20).

а) Определите вид четырехугольника А₁В₁В₂А₂, С₁В₁В₂С₂, А₁С₁С₂А₂.

б) Докажите, что треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Рис. 20.

Решение

а) Прямые А₁А₂, В₁B₂ параллельны по условию. А₁А₂ = В₁B₂ по свойству 2 параллельных плоскостей. В четырехугольнике А₁В₁В₂А₂ противоположные стороны параллельны и равны, значит, А₁В₁В₂А₂ – параллелограмм. Аналогично доказывается, что четырехугольники С₁В₁В₂С₂, А₁С₁С₂А₂ – параллелограммы.

б) А₁В₁ = А₂В₂, B₁C₁ = B₂C₂, А₁C₁ = A₂C₂ (как противоположные стороны параллелограммов). Значит, треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны по трем сторонам.

Задача 3

Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.

Рис. 21.

Доказательство

Пусть АВ = x, AC₁ = d, AA₁ = z, AD = y. Из любой вершины исходят три ребра, сумма длин которых равна x + y + z. Воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольник АСС₁. АС₁ < AC + CC₁, d < z + AC. Из треугольника АВС имеем: АС < AB + BC = AB + AD= x + y. Значит, d < z + x + y, что и требовалось доказать.