Понятие о системах счисления
Для построения сообщений в письменной форме используют обычно конечное число графических обозначений – знаков. Набор допустимых знаков – алфавит. В компьютере информация представляется в виде электрических сигналов высокого и низкого напряжения. Это представление информации основано на использовании 2 - СС.
Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество.
Самой первой, вероятно, возникла унарная (или унитарная) система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке, палочек, черточек). Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.
Появились разные условные обозначения для различных чисел.
Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.
СС можно разделить на позиционные и непозиционные. До изобретения позиционных систем счисления использовались непозиционные системы счисления, в которых от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Среди них наиболее известны римская система счисления, унитарная, а также современная система счисления в остаточных классах.
В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы (1 -- I, 5 -- V, 10 -- X, 50 -- L, 100 -- C, 500 -- D, 1000 -- M). Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Если меньшая цифра записана справа, а большая – слева, то их значения складываются, а если меньшая цифра записана слева, то её значение вычитается.
Пример: LXIV = 50 + 10 + (-1 + 5) = 94. В этой системе число 1997 будет записано как MCMXCVII.
В системе остаточных классов числа представляются своими остатками от деления на выбранную систему взаимно простых оснований.
В позиционных СС величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции. Мы чаще всего записываем и обрабатываем числа в десятичной СС, которая является позиционной, т.е. значение каждой цифры числа определяется её местом (позицией) в числе: 254 = 2*102 + 5*101 + 4*100. Количество используемых цифр называется основанием СС. Существуют системы счисления с различными основаниями.
Двоичная СС также, как и десятичная, является позиционной СС.
Достоинства и недостатки различных систем счисления, используемых при технической реализации цифровых устройств, могут быть выявлены, исходя из следующих практически важных требований:
- возможность представления любого числа в заданном диапазоне;
- единственность представления, когда любой числовой код соответствует только одному числу;
- простота выполнения арифметических и логических операций над числами.
Главным преимуществомпозиционных системсчисления по сравнению с непозиционными является удобство представления чисел и простота выполнения арифметических и логических операций.
Недостатком позиционных систем счисления является наличие межразрядных связей (переносов и заемов) при выполнении арифметических операций над числами, то есть невозможность выполнения арифметических операций как поразрядных (когда результат операции не зависит от ее результата в остальных разрядах).
Недостатками непозиционных систем счисления являются неудобство выполнения арифметических и логических операций и трудности при записи и восприятии больших чисел.
В системе остаточных классов все операции могут выполняться параллельно над цифрами каждого разряда в отдельности. Однако ей присущ и ряд недостатков: ограниченность действия этой системы полем целых положительных чисел, трудность определения соотношения чисел по величине, определения выхода результата операции из диапазона, отсутствие наглядной связи между числом и его представлением, не позволяющее оценить величину числа без перевода его в позиционную систему счисления, трудность выполнения операций деления и округления и др.
Несмотря на то, что в практике ручных вычислительных работ наибольшее распространение получила десятичная позиционная система счисления, она не является удобной для использования в цифровых устройствах, в частности в электронных вычислительных машинах (ЭВМ). Это связано, прежде всего, с трудностью технической реализации десяти различных уровней сигналов при одновременном обеспечении высокой помехоустойчивости.
Минимальное количество цифр, которое может быть принято в позиционной системе счисления, равно двум (0 и 1). Именно двоичная система счисления и нашла самое широкое применение в цифровых устройствах и ЭВМ в силу следующих очевидных преимуществ:
- простота технической реализации двух сигналов, кодирующих числа 0 и 1, которые в большинстве случаев отличаются друг от друга не столько количественно, сколько качественно;
- обеспечиваются высокие помехоустойчивость, надежность и быстродействие;
- легко выполняются арифметические и логические операции, что значительно упрощает схемотехнику арифметических и логических узлов, а их анализ и синтез просто выполняется на основе аппарата булевой алгебры и теории конечных автоматов;
- экономичность.
Эти преимущества полностью перекрывают такие недостатки двоичной (а также двоично-кодированной) системы счисления, как:
- длинная запись числа;
- необходимость преобразования входных и выходных данных из привычной человеку десятичной системы счисления в двоичную;
- трудность чтения и восприятия чисел.
Сокращение длины записи двоичных чисел легко обеспечивается применением систем счисления с кратным основанием. Если для оснований систем счисления p 1 и p 2 справедливо соотношение p 2 = p 1k, где k – цeлое положительное число, то такие системы называются системами счисления с кратными основаниями. Примером таких систем являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (23 = 8; 24=16). Хорошее знание этих систем счисления является обязательным для каждого, кто решил серьезно заняться изучением цифровой техники. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления в основном используются как вспомогательные для сокращения трудоемкости ручной обработки кодов чисел, команд и т. п. при подготовке программ, чтобы избежать чтения и записи громоздких двоичных чисел.
Хотя перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно в ЭВМ осуществляется автоматически (аппаратно или программно), надо знать и ручные методы таких переводов. Наиболее распространены два метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный.
При первом методе используются специальные таблицы соответствия чисел в различных системах счисления. Этот метод громоздкий, но применим как к позиционным, так и к непозиционным системам. Такие таблицы очень удобны на начальном этапе ознакомления с новой системой. Например, полезно запомнить четырехразрядные двоичные эквиваленты десятичных цифр (см. табл.1).
| Таблица 1. | |||
| Десятичное число | Двоичное число | Восьмеричное число | Шестнадцатиричное число |
 0
| |||
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
Расчетный метод универсальнее и удобнее, но применим он только к позиционным системам счисления. В практике встречаются три случая перевода: целых чисел, правильных дробей и неправильных дробей. Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя, то есть число, меньшее единицы (например: 0,6; 3/7; 0,33...). Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель равен или больше знаменателя, то есть число большее или равное единицы (например: 3/3; 7/3; 1,23; 15,36).