• Главная
• Избранное
• Популярное
• Новые добавления
• Случайная статья

Глава 25. Теория вероятностей

§1 Комбинаторика
Рассмотрим множество, состоящее из различных элементов. Число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов   Выбор Неупорядоченный Упорядоченный Без повтора С повтором   Требуется выбрать из них какие-нибудь элементов и расположить эти элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из элементов по элементов. Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество     Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из элементов, называется сочетанием из элементов по элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен. Число сочетаний без повторений Число сочетаний с повторениями .   Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле	Задача. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская? Решение. Задача на число размещений, т.к. флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.   Задача. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести. Решение. По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов - . Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е. . Задача. Количество перестановок букв в слове «цифра » равно… Варианты ответов: 1) 25 2) 20 3) 120 4) 5 Решение. Количество перестановок для n различных элементов (в данном случае - различных букв) равно n!. Таким образом, для слова «цифра » количество перестановок равно 5!=120. Ответ. №3. Задача. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»? Решение. Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
§2 Вычисление вероятности по классической формуле
Вероятность события определяется формулой , где число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; число всех возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.	Задача. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не более трех очков, равна… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Игральная кость содержит 6 граней, т.о. при ее бросании возможно 6 равновероятных исходов. Событие " выпадет не более трех очков " равносильно выпадению 1, 2 или 3 очков. Тогда по формуле классической вероятности получаем . Ответ. №4.
§3 Геометрическое и статистическое определения вероятности
Если опыт сводится к бесконечному числу равновозможных случаев, то применяется геометрическое определение вероятности , где равно длине отрезка, если точки множества расположены на прямой; равно площади фигуры, если точки множества расположены на плоскости; равно объему тела, если точки множества расположены в пространстве.	Задача. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами м, м. На территории имеется емкость диаметром 10 м. (см.рис.). Какова вероятность поражения емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку равновероятное? Решение. Событие А - поражение емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы , где площадь заштрихованного круга; - площадь прямоугольника .
§4 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении или события , или события , или обоих вместе. Ключевое слово «или» («либо»). Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события . Ключевое слово «и». Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно. Теорема сложения. для несовместных событий; для совместных событий. Два события называются независимыми,если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило. Теорема умножения. для независимых событий; для зависимых событий.	Задача. По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,2 и 0,35. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна… Варианты ответов: 1) 0,07 2) 0,55 3) 0,7 4) 0,52   Решение. Рассмотрим события А -"банкротство I предприятия" и B -"банкротство II предприятия". По условию эти события независимы, тогда по теореме о произведении независимых событий получаем Ответ. №3.   Задача. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,9 и 0,4 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна… Варианты ответов: 1) 0,45 2) 0,5 3) 0,36 4) 0,4 Решение. Рассмотрим события А -"в цель попал I стрелок" и B -" в цель попал II стрелок ". По условию эти события независимы, тогда по теореме о произведении независимых событий получаем Ответ. №3.   Задача. Случайные события А и В - несовместны. Тогда выполнено … Варианты ответов: 1) p(A)+p(B)=1 2) p(A)+p(B)£1 3) p(A+B)<1 4) p(AB)=1 Решение. Разберем варианты ответов 1) p(A)+p(B)=1 - события А и В - несовместны и противоположны 2) p(A)+p(B)£1 - события А и В - несовместны 3) p(A+B)<1 - события А и В могут быть совместны, могут быть несовместны 4) p(AB)=1 - события А и В - совместны Ответ. №2.
§5 Формула полной вероятности. Формула Бейеса
Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать исключающих друг друга предположений (гипотез) , причем . Вероятность некоторого события А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле Эта формула носит название формулы полной вероятности. Если же событие А совершилось и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой , то необходимо воспользоваться формулой Бейеса .	Задача. Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместных событий и , образующих полную группу событий. Известны вероятность и условные вероятности , . Тогда вероятность равна … Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Т.к. по условию несовместные события и , образуют полную группу событий и известно, что вероятность , то вероятность . Тогда по формуле полной вероятности получаем Ответ. №4.
§6 Повторные испытания
Пусть проводится испытаний, причем выполняются следующие условия: испытания независимы, то есть начальные условия перед каждым испытанием абсолютно одинаковы; в каждом испытании интересующее нас событие А может произойти с вероятностью . Тогда вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли , где     В случае, если велико, то есть (значительно больше 1), то данную вероятность можно найти по асимптотической формуле (локальная теорема Лапласа): , где . Функция определяется формулой . Таблица значений функции для положительных значений приведена в приложении 1; для отрицательных значений надо помнить, что .   В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность мала пользуются формулой Пуассона: , где среднее число появлений события в различных сериях испытаний. Вероятность того, что в независимых испытаниях ( велико) событие наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна , где . Функция определяется формулой . Функция Лапласа нечетная, то есть . Последняя формула носит название интегральной теоремы Лапласа. Она тем точнее, чем больше значение .	Задача. Монета брошена 4 раза. Тогда вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз, равна … Варианты ответов: 1) 1/16 2) 1/2 3) 3/4 4) 15/16 Решение. Так как в условии присутствует фраза “ хотя бы один раз ”, то решаем “от противного” и найдем вероятность того, что при 4 бросаниях орел не выпадет ни разу. Применим формулу Бернулли, т.к. испытания независимы и вероятность события “выпадение орла” остается в каждом опыте неизменной и равной 1/2. Тогда искомая вероятность равна . Ответ. №4.   Задача. В лаборатории проводится серия из 400 опытов по обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в каждом отдельном опыте равно 0,2. Найти вероятность того, что микроб будет обнаружен в 80 опытах. Решение. Очевидно, что при пользоваться формулой Бернулли практически невозможно из-за необходимости вычислять факториалы больших чисел. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Итак, ; . Найдем значение функции по таблице: . .   Задача. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия. Решение. По условию велико; мало. Найдем . По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна .
§7 Случайная величина и ее числовые характеристики
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины называется функция , равная вероятности того, что примет значение меньше, чем число , то есть . Иногда ее называют интегральной функцией распределения. Из определения следует: и . Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию , которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией). Из определения следует: . Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание . Математическое ожидание вычисляется: для дискретной случайной величины; для непрерывной случайной величины. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия вычисляется: для дискретной случайной величины; для непрерывной случайной величины. Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:   Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1. , где ; 2. , где ; 3. ; 4. , если - взаимно независимые случайные величины. Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. , где ; 2. , где ; 3. , если - независимые случайные величины.	Задача. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей: X -1   p 0,4 0,6 Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно… Варианты ответов: 1) 3,4 2) 2,6 3) 2 4) 4 Решение. По определению Ответ. №2.

Задача.

Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

X	-1
P	0,1	a	b

Тогда ее математическое ожидание равно 3,3 если …

Варианты ответов: 1) a=0,1; b=0,8 2) a=0,8; b=0,1

3) a=0,1; b=0,9 4) a=0,2; b=0,7

Решение.

Используем формулы и .

Составим систему

Решая ее, получаем a=0,1; b=0,8.

Ответ. №1

 

 

Задача.

График плотности распределения вероятностей случайной величины приведен на рисунке.

Варианты ответов: 1) 2) 1,2 3) 0,9 4)

Решение.

Согласно свойствам функции , площадь фигуры, ограниченной графиком и осью , всегда равна 1. Вычисляем площадь трапеции

.

Ответ. №1.

 

 

Х
Р

Если различным значениям СВ соответствуют различные значения СВ , то вероятности соответствующих значений равны; если же различным значениям СВ соответствуют значения СВ , среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений .

Математическое ожидание функции

.

Пусть аргумент - непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения .

Если функция дифференцируемая строго монотонная, обратная функция которой , то плотность распределения случайной величины находится по формуле

.

Если функция в интервале возможных значений не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы .

Например, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то

Математическое ожидание и дисперсия функции непрерывного случайного аргумента

или

.

Найти закон распределения случайной величины и ее математическое ожидание.

Решение.

Найдем возможные значения :

.

Возможному значению , соответствуют возможные значения и , поэтому . Вероятности возможных значений

; .

Итак, искомый закон распределения функции

	0,2	0,5	0,5

.

Задача.

Дана нормально распределенная случайная величина с и . Найти закон распределения СВ .

Решение.

По условию задачи .

Так как , то . Найдем для обратную функцию ;

Поиск по сайту: