§6 Критерии проверки и оценка решений заданий 18 (20 в 2015 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2016
Как это обычно бывает, задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.
Ниже приведены задачи двух типов из материалов досрочного и основного ЕГЭ–2015, их решения, ответы и соответствующие критерии проверки. Далее в Части 1 приведены 6 примеров решений этих задач на ЕГЭ вместе с комментариями по оценке и самими оценками. Подчеркнём, что каждая задача оценивалась по критериям соответствующего года проведения ЕГЭ. В Части 2 также приведены примеры решений этих же задач, но оценки верности этих решений следует проверить самостоятельно. В Части 3 для проведения зачёта выбраны только решения задач основного ЕГЭ-2015.
Задачи типа 1 и 2 имеют много схожего в своей структуре и условиях:
(1) это системы относительно двух переменных;
(2) это системы с параметром;
(3) первое уравнение системы довольно громоздкое, но не содержит параметр;
(4) уравнение, содержащее параметр, напротив, весьма простое; это уравнение пучка параллельных прямых, или прямых, проходящих через фиксированную точку;
(4) всё начинается с преобразований первого уравнения и его решения;
(5) далее, как правило, удобнее использовать геометрическую интерпретацию;
(6) верное выполнение (4) и (5) гарантирует получение 1 балла;
(7) 3 балла выставляется за практически верное решение; допускаются только 1–2 неточности во включении концевых точек соответствующих промежутков;
(8) оценка в 2 балла – самая редкая.
В то же время, имеются и различия. В основном они связаны с видом первого уравнения. В заданиях первого типа эти уравнения сводятся к произведению двух линейных множителей или же линейного множителя и (простейшего) квадратичного множителя. Такое разложение можно провести или группировкой членов, или решая уравнение, как квадратное относительно одной из переменных.
В заданиях второго типа присутствует модуль. При его раскрытии с помощью выделения полных квадратов всё сводится к дугам двух окружностей. Дальнейший существенный шаг состоит в нахождении угловых коэффициентов касательных в точках пересечения этих окружностей. Без знания того, что для наклонных прямых (или какого-то аналога нахождения уравнения перпендикуляра к заданной прямой в заданной точке) этот шаг становится почти непреодолимым. Судя по имеющимся сканам работ, верное нахождение угловых коэффициентов касательных в большинстве случаев гарантировало получение 3 баллов за решение.
Задача 1
Найдите все значения , при каждом из которых система имеет ровно два различных решения.
Решение.
Решим первое уравнение:
.
Рассмотрим случай (1): . При любом получаем одно решение , для которого неравенство верно только при .
Рассмотрим случай (2): , . Так как , то при корней нет, при получаем один корень , при получаем два различных корня. У параболы - ветви вверх, абсцисса вершины равна и . Значит, оба корня не меньше -3 при т.е. при , а при один корень меньше -3, а другой – больше -3.
Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице
Число решений (1) | |||||
Число решений (2) |
Остается учесть те значения , при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда , и из , получаем, что .
Ответ: , .
Содержание критерия, задача №20, ЕГЭ-2015 | Баллы | |
Обоснованно получен правильный ответ | ||
С помощью верного рассуждения получен ответ, отличающийся от верного на одно или оба из значений . | ||
Обоснованно получено, что условие задачи выполняется хотя бы в одном из случаев или . | ||
Задача верно сведена к исследованию расположения парабол и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | ||
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | ||
Максимальный балл |
Задача 2.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если , то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .
2) Если , то получаем уравнение
; ; .
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .
При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При или прямая пересекает каждую из дуг и в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при .
Ответ: .
Содержание критерия, задача №2 | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или | |
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля | |
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
Максимальный балл |