Перевод из 10-ой в 2, 8, 16-ю систему счисления целых чисел

Системы счисления, используемые в ЭВМ

Позиционные СС

Система счисления (СС) – это совокупность правил для записи чисел символами.

СС бывают:

  • позиционные (ПСС);
  • непозиционные (НСС).

Пример непозиционной СС – римская (сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций).

В позиционной системе значение цифры определяется ее позицией в записи числа (например, десятичная). Любая позиционная СС характеризуется основанием.

Основание (базис) ПСС это количество Р различных символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Вообще, систем счисления существует бесчисленное множество.

В ПСС любое число x может быть представлено в виде полинома от основания q:


где аi - цифры СС; n, m – количество разрядов соответственно в целой и дробной части числа.

На практике числа представляются в виде последовательности цифр:

Позиции цифр называются разрядами. В ПСС значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в Р раз (Р – основание СС).

Количество разрядов в записи числа называется длиной числа.

В ЭВМ используется двоичная (0,1), восьмеричная (0, 1,…, 7) и шестнадцатеричная СС (0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F).

Двоичная система используется для представления и хранения чисел, команд, адресов и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.

16-я и 8-я применяются в текстах программ для более удобной и короткой записи двоичных кодов команд адресов и операндов (и в ЭВМ при некоторых формах представления чисел).

Длина разрядной сетки

В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.

Для разных СС характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.

96(10)=140(8)=1100000(2)

Чем меньше основание системы, тем больше длина числа. Так, двоичный код числа требует приблизительно в 3 раза большего числа разрядов, чем его десятичный код.

Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное и минимальной число, которой может быть в ней записано.

Пусть длина разрядной сетки равна любому положительному числу n.

Тогда

A(p) max=Pn-1 ( для целых чисел)

n – количество цифроразрядов.

Во всех разрядах записана старшая цифра системы.

Пример:

A(p)min=1 (отличное от 0 целое число)

Диапазон представления чисел в заданной СС – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами.

A(p)min DN A(p)min

Двоичная арифметика

Правила двоичной арифметики задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрим примеры:

Умножение многоразрядных чисел сводится к суммированию частичных произведений.

Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения.

Методы перевода чисел из одной СС в другую

Перевод из 2, 8, 16 в 10-ю систему счисления.

Алгоритм основан на формуле 3.1. Пусть искомая СС имеет основание p , а результирующая – основание q.

Рекомендуется использовать его при p<q.

Перевод из 10-ой в 2, 8, 16-ю систему счисления целых чисел

Для перевода целого числа в новую систему его надо последовательно делить на основание новой системы до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна нулю. Число в новой СС записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа.

Вычисления выполняются в исходной СС.

Пример:

X=118(10)=1110110(2)

X=56(10)=111000(2)





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!