Правила дифференцирования.

Производные элементарных функций.

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

1. (e^x) ' = e^x

2. (e^kx+b) ' =ke^kx+b

3. (a^x) ' =a^xlna

7. (sin x) ' =cosx

8. (cos x) ' = -sinx

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.

Производная показательной функции.

Показательная функция f(x)=a^x, где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:

a^x=e^{xln a}(1)

так как e^{xln a}= (e^{ln a})^х= а^х.

Стоит отметить свойств о функции е^х: производная данной функции равна ей самой

(e^x) ' = e^x. (2)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

(e^kx+b) ' = ke^kx+b. (3)

Производная для a^x:

(a^x) ' = a^xlna. (4)

Производная логарифмической функции.

Логарифмическую функцию с любым основанием а > 0, а≠ 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода

(5)

Производная функции lnх выражается формулой

(6)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

(7)

(8)

Производные тригонометрических функций.

Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:

(sin x)’=cosx (9)

(cos x)’= -sinx (10)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти производную: f(x) = 3lnx

Решение:

Ответ:

Найти производную: f(x) = 3·e^2x

Решение: (3e^2x) ' = 3·2· e^2x= 6 ·e^2x

Ответ: 6 ·e^2x

Найти производную: f(x) = 2^x

Решение: (2^x) ' = 2^xln2

Правила дифференцирования.

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

П роизводная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования.

1 правило. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))'=cf ' (x)

2 правило. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных:

(f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x).

3 правило. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

(f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)

4 правило. Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.