Ключи, критерии оценивания заданий школьного этапа
Всероссийской олимпиады школьников
Учебный год
Математика
Класс
Максимальный балл – 35 баллов
За одну задачу выставляется максимум 7 баллов. Ниже вместе с ключами приведены указания по оценке каждого задания.
В случае затруднения при проверке и оценивании заданий олимпиады жюри может руководствоваться следующими общими критериями:
7 баллов – задача решена правильно;
6 баллов – задача решена, но есть мелкие замечания к решению (например, в решении есть 1, 2 недочёта или не рассмотрены некоторые простые частные случаи);
5 баллов – решение в целом верное, но неполное (содержит все основные идеи, но не доведено до конца ИЛИ опирается на недоказанные утверждения ИЛИ рассмотрены не все частные случаи) ИЛИ же решение содержит ряд легкоустранимых ошибок;
3-4 балла – задача решена «наполовину», т.е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей;
1-2 балла – задача не решена, но подход к решению правильный ИЛИ задача решена для простых частных случаев ИЛИ есть ответ, но нет никакого обоснования;
0 баллов – решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, ИЛИ задача не решалась.
Задание 1. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Будет ли n также степенью двойки? Ответ обоснуйте.
Решение:
Пусть a и b – первый и n -й члены прогрессии, S – сумма первых n членов. Тогда 
Значит, 2S делится на n. Так как 2 S – степень двойки, то и n – степень двойки.
Ответ: Да, n также степень двойки.
Критерии оценивания:
| 7 баллов | Приведено полное обоснованное решение |
| 1 балл | Есть верный ответ, но нет никакого обоснования |
| 0 баллов | Решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась. |
Задание 2. Расставьте знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство
4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22
Решение.
Например, 
Критерии оценивания:
| 7 баллов | Приведено верное решение |
| 0 баллов | Решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась. |
Задание 3. Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – целое положительное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счёт пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счёт Федя, если известно, что комиссия менее 30%?
Решение:
Пусть Федя положил n рублей, а взимаемая комиссия составляет k%.
Тогда 
, то есть 84700 = (100 − k) n.
Разложим число 84700 на простые множители, получим:
84700=2 * 2 * 5 * 5 * 7 * 11 * 11.
По условию задачи 70 < 100 − k < 100, поэтому необходимо найти все числа, делящие 84700 из этого диапазона. Перебором выясняется, что единственный подходящий вариант – это 7*11 = 77, значит, k = 23. Таким образом, Федя положил на телефон 
рублей.
Ответ: 1100 рублей.
Критерии оценивания:
| 7 баллов | Приведено полное обоснованное решение, получен верный ответ |
| 5 баллов | Проведены все необходимые рассуждения (любым способом), приводящие к ответу, но допущена одна арифметическая ошибка, не нарушающая общей логики решения, в результате чего получен неверный ответ. |
| 2 балла | Верный ответ получен перебором частных случаев |
| 1 балл | Есть верный ответ, но нет никакого решения |
| 0 баллов | Решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась. |
Задание 4. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?
Решение:
Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10 + 5 + 1).
Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук.
Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.
Ответ: 4.
Критерии оценивания:
| 7 баллов | Приведено полное обоснованное решение |
| 5 баллов | Получен верный ответ, но обоснования недостаточны |
| 1 балл | Есть верный ответ, полученный на конкретном примере |
| 0 баллов | Решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась. |
Задание 5. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны. В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат?
Решение:
Рассмотрим в окружности диаметр АС и перпендикулярную ему хорду ВD, не проходящую через центр (см. рисунок). Покажем, что четырехугольник АВСD удовлетворяет условию задачи. Для этого достаточно доказать, что в него можно вписать окружность. В окружности диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам, значит, в треугольнике ВАD высота является медианой и этот треугольник является равнобедренным: АВ = АD. Аналогично, СВ = СD. Так как суммы противоположных сторон четырехугольника АВСD равны, в него можно вписать окружность.
Ответ: Нельзя.
Критерии оценивания:
| 7 баллов | Приведено полное обоснованное решение |
| 3 балла | Верный пример фигуры, но есть пробелы в доказательстве |
| 1 балл | Есть верный ответ и верный чертеж, но нет доказательства |
| 0 баллов | Решение задачи полностью неправильное ИЛИ задача не решалась. |