Теоретический материал, примеры вычисления пределов
Определение
Конечное число A называется пределом функции f (x) в точке x 0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x − x 0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству | f (x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:
- Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
- Постоянный множитель можно выносить за знак предела
- Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
- Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
- Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
Вычисление несложных пределов
1. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
2. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
или
3. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
4. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.
5. Найти предел функции
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида |
Для её раскрытия можно использовать свойство, что существенно упростит вычисление предела, в отличии от примеров 2,3,4, хотя их можно тоже вычислить, используя данное свойство.
Пусть дана дробно-рациональная функция | , |
где P (x) и Q (x) некоторые многочлены. Тогда:
- Если степень многочлена P (x) больше степени многочлена Q (x), то
- Если степень многочлена P (x) меньше степени многочлена Q (x), то
- Если степень многочлена P (x) равна степени многочлена Q (x), то
,
где p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x в данных многочленах.
В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому
6. Найти предел функции
Решение:
В данном случае снова имеем неопределённость вида |
Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому
7. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
8. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида |
Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом |
9. Найти предел функции
Решение:
В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
развернуть таблицу
Имеем | , тогда |
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1 | Вариант 2 |
Найдите предел функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) | Найдите предел функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) |