УДК 536.35
А.М. Гущин1, Н.В. Володарец2, А.П. Соломин3, А.С. Балагура4, Е.А. Бондарь5
1 Донецкий институт железнодорожного транспорта, г. Донецк, Украина,
2 Донецкая академия автомобильного транспорта, г. Донецк, Украина,
3 Донецкий институт железнодорожного транспорта, г. Донецк, Украина,
4 Донецкий институт железнодорожного транспорта, г. Донецк, Украина,
5
Введение.
Истечение газов характеризуется прохождением их через отверстие или короткие патрубки отличающиеся тем, что в процессе прохождения можно пренебречь аэродинамическим сопротивлением и процессами теплообмена.
Процессы истечения на практике используются, для превращения потенциальной энергии давления газа в ёмкости в кинетическую энергию движения газового потока, которая на потоках турбинного колеса превращается во вращающий момент вала этого колеса. Этот процесс осуществляется в системе турбонаддува на тепловозах.
В тех случаях, когда истечение газа происходит из закрытой емкости, в ней снижается давление и температура среды, что приводит к изменению интенсивности процесса истечения.
Постановка задачи.
В термодинамике известна закономерность истечения газов из ёмкости фиксированными значениями температуры и давления газа. При изменяющимся во времени давлении и температуры газов необходимо решать сопряженную задачу собственного истечения газа через патрубок и изменение параметров состояния газа в ёмкости. Процесс истечения газа из ёмкости является гладким. Выделяют две области истечения: закритическое и докритическое. При докритическом истечении интенсивность истечения зависит от параметров состояния газа в ёмкости и давления в среде, в которую происходит истечение. При закретическом истечении интенсивность истечения не зависит от давления в среде истечения. Границей этих двух областей истечения, служит критическое отношение давления в среде истечения и давления в ёмкости из которой происходит истечение
где Рс – давление в среде в которую осуществляется истечение газа;
Ркр – давление газа в ёмкости из которой происходит истечение;
βкр – критическое отношение.
Если значение отношений давлений больше βкр имеет место докритическое отношение, если отношение меньше βкр имеет место закритическое истечение. Значение критического отношения давлений βкр, а так же значения показания адиабаты «К»для разных газов приведено ниже в таблице 1.
Таблица 1
| Атомность газа | Значение показания адиабаты «К» | Критическое отношение давлений βкр |
| Одноатомный | 1.66 | 0.49 |
| Двухатомный | 1.4 | 0.528 |
| Трехатомный и перегретый пар | 1.3 | 0.546 |
В процессе истечения газа из ёмкости происходит снижение давления и его температуры, что неизбежно приводит к появлению теплообмена газа с окружающей средой, а это непосредственно влияет на давление газа в ёмкости и изменению на течение m(кг/с).
Влияние теплообмена на процесс истечения можно учесть двумя способами:
Заданием закона теплообмена или заданием закона изменения параметров состояния газа в ёмкости.
Из изученной литературы об истеченении газа из ёмкости можно выделить четыре задачи:
1. Описание процесса истечения в закритической области при заданности закона соотношения между параметрами состояния газа в ёмкости;
2. Описание процесса истечения в закритической области при заданном законе теплообмена газа в ёмкости с окружающей средой;
3. Описание процесса истечения газа в докритической области при заданном законе соотношения между параметрами газа в ёмкости;
4. Описание процесса истечения газа в докритической области при заданном законе теплообмена газа в ёмкости с окружающей средой.
Цель исследования: Разработать расчетные зависимости для определения изменяющихся во времени давления газа в ёмкости, его температуры, интенсивности истечения.
При решении поставленной задачи использовались известные в термодинамике зависимости:
– уравнение состояния идеального газа для 1-го кг газа и для G кг газа, соответственно:
(1)
где P – давление газа;
– удельный объём газа;
R – удельная газовая постоянная;
T – температура газа;
V – объём ёмкости из которой происходит истечение газа
G – масса газа в объёме V.
– интенсивность истечения газа при фиксированных значениях температуры и давления в закритической области:
(2)
где 
– коэффициент сопла;
– площадь поперечного выходного сечения сопла;
В качестве заданного соотношения между параметрами газа в ёмкости могут быть соотношения их для изотермического адиабатного или политропного процессов. Политропный процесс можно рассматривать как обобщающий процесс, а два других упомянутых выше можно рассматривать как частные случаи политропного. В связи с этим, соотношение между давлением газа и температурой получается уравнение политропного процесса:
(3)
где n – показатель политропы.
Значение показателя политропы в общем случае может изменятся в широких пределах. Его значение зависит в основном от характера теплообмена газа в ёмкости с окружающей средой. Значение этого показателя находят на практике экспериментальным путём для сходных условий изменения состояния газа.
Находим зависимость описывающую изменение во времени давления газа в ёмкости.
Дифференцируем уравнение (1)
(4)
Члены уравнения (4) разделим на члены уравнения(1), получим:
(5)
Отношение 
получаем путём дифференцирования уравнения (3)
(6)
Величину dG можно выразить соотношением:
dG=-mdτ (7)
где m – интенсивность истечения (кг/с);
τ – текущее время.
Знак (-) в уравнении (7) поставлен в связи с тем, что массовый расход газа в ёмкости при его истечении уменьшается и его изменение dG должно быть отрицательной величной.
В выражении для m (2) сделаем замену:
(8)
Тогда выражение (7) преобразуется в следующую форму:
(9)
Соотношение 
в (9) заменим по уравнению (1)
(10)
Значение температуры Т заменим через давление газа Р в соответствии с уравнением (3)
(11)
где Р1 и Т1 – начальные значения давления температуры в ёмкости
Соотношение (11) представляем в (9)
; 
(12)
Текущее значение массы газа в ёмкости выразим из уравнения (1)
(13)
Значение температуры Т в формуле (13) выразим из уравнения (3)
(14)
Соотношение (6), (12) и (14) выразим в уравнении (5)
(15)
После определенных алгебраических преобразований из уравнения (15) получаем:
(16)
Уравнение (16) дифференциальное уравнение с раздельными переменными.
Интегрируем уравнение (16). После интегрирования этого уравнения и некоторых алгебраических преобразований получаем:
(17)
В уравнении (17) выполним замену
(18)
В уравнении (17) преобразуем:
(19)
Таким образом получена зависимость описывающая характер изменения давления в емкости для области закритического истечения для случая, когда соотношение между температурой и давлением газа в емкости соответствует политропному процессу. Изменение температуры во времени найдется из совместного решения уравнений (3) и (19)
(20)
Остаточная масса газа в ёмкости после времени истечения 
определяется из совместного решения уравнений (13), (19) и (20)
(21)
Интенсивность истечения газа (m) определяется из совместного решения уравнений (2),(8), (11) и (19)
(22)
Формулы (19)…(20) справедливы при истечении до момента когда давление в ёмкости сжимается до критического истечения в соответствии с формулой:
(23)
Из уравнения(19), можно найти время истечения, при котором давление в ёмкости снизится до критического значения. Рассмотрев формулу (19) предположим, что время истечения будет равным:
(24)
Формулы (17)…(24) получены для случая политропного изменения параметров газа в ёмкости. Предположим, что истечение организовано так, что выполнена совершенная теплоизоляция ёмкости. Соотношение между параметрами соотношения в этом случае будет соответствовать уравнению адиабатного процесса. При этом уравнение будут иметь ту же форму, только вместо показателя политропы «n» необходимо подставлять значение показателя адиабаты «К» из таблицы 1.
Далее выведем уравнение изменения во времени давления, интенсивности истечения газа в ёмкости для случая неизменной температуры газа в ней. В качестве исходных используем выше приведенные уравнения (1) и (2)
(25)
Бесконечно малое изменение массы газа в ёмкости вырази через интенсивность истечения «m»
(26)
Интенсивность истечения «m» в соответствиями с формулами (2) и (8) выразится соотношением
(27)
Удельный объём выразим из уравнения (1)
(28)
Тогда значение «m» выразим соотношением
(29)
Соотношение (26) и (29) подставим в (25)
(30)
После интегрирования уравнения (30) получим
(31)
Интенсивность истечения «m» по уравнению (2) с учетом обозначения (8) выразим соотношением:
(32)
Из уравнения (1) находим
(33)
Соотношение (33) подставляем в формулу (32):
(34)
C учетом зависимости (31):
(35)
Из формулы (31) определяем время за которое сначала истечения давления снизится до критического значения. Принимая во внимание соотношение:
(36)
Из уравнения (31) находим искомое время
(37)
Вывод: Приведенные выше результаты исследований позволяют сделать следующие выводы:
1. Показано, что изменение параметров состояния газа в ёмкости определяется не только истечением газа из ёмкости но и неизбежным теплообменом газа в ёмкости с окружающей средой, и для определения зависимостей, описывающих процессы в ёмкости, необходимо выполнить решение спряженной задачи, связывающей процесс истечения с процессом изменения параметров состояния в ёмкость, из которой происходит истечение газа.
2. Изменение параметров состояния газа в ёмкости можно связывать определенными соотношениями имеющими место при адиабатном, изотермическом или политропным процессами или уравнение теплообмена газов в ёмкости с окружающей средой. Закономерность истечения газов иметь две формы: для закритеческого и докритического истечения.
Таким образом, процесс изменения состояния газа в ёмкости распадается на четыре отдельных задачи, отражающие характер истечения газа и характер изменения параметров состояния в ёмкости, из которой происходит истечение газа.
3. Решена задача 1 которая характеризуется истечением в закритической области и заданием политропного, адиабатного и изотермического процесса в ёмкости. Получены зависимости описывающие изменение во времени давления, температуры газа, уравнением интенсивности истечения, количеством остаточного газа в ёмкости, а так же зависимость для определения времени, за которое давление газа снижается до критического значения.