Лекции 8,9. Спектральные плотности случайных процессов

План.

1.Понятие спектральной плотности случайного процесса.

2.Терминологические замечания.

3.Физический смысл спектральной плотности.

4.Взаимная спектральная плотность двух процессов.

5.Спектральные плотности типовых сигналов.

6.Аппроксимации спектральных плотностей.

7.Связь между видом реализации случайного процесса

и видом его спектральной плотности.

При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов линейными системами управления, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция.

Спектральная плотностьS_x(w) случайного процесса Х(t) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции R_х(t), т. е.

(8.1)

Если воспользоваться формулой Эйлера е ^-jwt =соs wt  j sin wt, то (8.1) можно представить как

(8.2)

Так как R_x (t)sin wt - нечетная функция t, то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что R_x (t)cos wt — четная функция , получаем

(8.3)

Поскольку cos wt =cos(- wt), то из (8.3) следует, что

(8.4)

Таким образом, спектральная плотность S_x (w) является действительной и четной функцией частоты w. Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

(8.5)

Спектральная плотность может быть получена и непосредственно по реализации случайного процесса без предварительного вычисления корреляционной функции. Если известна реализация случайного процесса x(t), то можно найти ее изображение Фурье, введя сначала одно ограничение, связанное с тем, что для существования преобразования Фурье необходимо, чтобы при t ®¥ подынтегральная функция стремилась к нулю, а реализация стационарного случайного процесса таким свойством не обладает. Поэтому сначала рассматривают функцию x_T(t), совпадающую с функцией x(t) на конечном интервале от - T до + Т, а за пределами этого интервала равную нулю, т. е.

(8.6)

Изображение Фурье для функции x_t (t) существует и имеет вид

(8.7)

Комплексную функцию частоты Х_T (jw) называют спектральной функцией (текущим спектром) реализации x(t), определенной в интервале -T<=t<=T.

Спектральная плотность выражается через спектральную функцию следующим образом:

(8.8)

где Х_T (- jw) — функция, комплексно-сопряженная с Х_T (jw).

Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной плотности можно пояснить следующим образом.

Пусть x(t) — напряжение, приложенное к омическому сопротивлению в 1 Ом, тогда средняя мощность Р_ср, рассеиваемая на этом сопротивлении за время 2Т, равна

(8.9)

Если увеличивать интервал наблюдения 2Т до бесконечных пределов и воспользоваться (31), (41) и (59) при  =0, то можно формулу для средней мощности записать так:

(8.10)

Равенство (63) показывает, что средняя мощность сигнала может быть

представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагаемых

, (8.11)

которая распространяется на все частоты от 0 до ¥.

Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в пределах от w до w + dw. Каждая элементарная мощность 1/ p Sx(w)d w пропорциональна значению функции S_x (w) для данной частоты w. Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие из анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют по известной корреляционной функции при помощи формулы (8.6) или (8.7).

Взаимная спектральная плотность S_xg (jw) двух стационарных случайных процессов X(t) и G(t) определяется как преобразование Фурьеот взаимной корреляционной функцииR_xg (t), т.е.

(8.12)

По взаимной спектральной плотности можно, применяя к (8.12)) обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

(8.13)

Взаимная спектральная плотность S_xg (jw) является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами Х(t) и G(t). Если процессы X(t) и G(t) некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

Взаимная спектральная плотность может быть найдена не только по известной взаимной корреляционной функции, но также и по известным реализациям случайных процессов x(t) и g(t).

В последнем случае взаимную спектральную плотность определяют по выражению

(8.14)

где X_T (jw) и G_T (jw) — преобразования Фурье для функций x_T(t) и g_T(t), определяемых аналогично выражению (8.9), т, е,

(8.15)

В (8.15) функция X_T (- jw) представляет собой функцию, комплексно-сопряженную с X_T (jw).

Из определения взаимной спектральной плотности (8.14) нетрудно видеть, что

(8.16)

В отличие от спектральной плотности S_x (w)взаимная спектральная плотность S_xg (jw) является нечетной функцией w и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

Центрированному случайному процессу Х⁰(t), имеющему центрированную корреляционную функцию R_x0 (t), определяемую (??), соответствует центрированная спектральная плотность S_x0 (w), т. е.

(8.17)

Зная центрированную спектральную плотность S_x0 (w), по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей центрированную корреляционную функцию:

(8.18)

Используя (??) и (8.18), можно установить важную зависимость между дисперсией D_х и спектральной плотностью S_x(w) для центрированного случайного процесса:

(8.19)