Четыре замечательные точки треугольника




Замечательные точки треугольника– это точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

 

Свойства точки, лежащей на биссектрисе неразвернутого угла:

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

 

Обратная теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Теорема. Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

 

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

 

Свойства точки, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку:

 

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

 

Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

 

Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

 

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

 

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

 

 

 

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

 

 

Вписанная и описанная окружности

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

 

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Замечания.

1. В треугольник можно вписать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

 

 

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

 

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Замечания.

1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника около четырехугольника не всегдаможно описать окружность.

 

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна .

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна , то около негоможно описать окружность.

Перпендикуляры, восстановленные к серединам сторон треугольника (серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности, и называется ортоцентром.

 

Оглавление

Многоугольники. 2

Параллелограмм и трапеция. 6

Прямоугольник, ромб, квадрат. 9

Площадь многоугольника. 13

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 14

Теорема Пифагора. 16

Определение подобных треугольников. 18

Признаки подобия треугольников. 20

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 22

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 24

Касательная к окружности. 26

Центральные и вписанные углы.. 28

Четыре замечательные точки треугольника. 30

Вписанная и описанная окружности. 33

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!