Определение.
Точка называется изолированной особой точкой однозначной функции 
, если в некоторой проколотой окрестности точки а функция аналитична.
Замечание.
а – правильная точка , если аналитична в некоторой окрестности точки а.
Пример.
изолированная особая точка функций 
, 
, 
.
Рассмотрим 
. не изолированная особая точка, так как существует 
в которых 
не аналитична и 
Классификация особых точек.
1. Устранимая особая точка, если
2. Полюс, если
3. Существенно особая точка, если
Пример.
, 
– изолированная точка.
не существует, так как 
– существенно особая точка.
Теорема 1.
Для того что бы изолированная особая точка была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы все члены главной части разложения f(z) в окрестности точки а в ряд Лорана равнялись нулю.
Доказательство.
I. а- устранимая особая точка 
и в некоторой 
ограничены.
Оценим коэффициенты ряда Лорана для главной части
C- окружность охватывает точку а и лежит в 
Таким образом, все коэффициенты главной части равны 0. То есть в проколотой окрестности точки а
,
II. Пусть а-изолированная особая точка, а функция f(z) в проколотой раскладывается в степенной ряд 
a- устранимая особая точка.
Пример.
. Проверим, что а=0 устранимая особая точка.
Нет главной части а=0 – устранимая особая точка.
Теорема 2.
Если а – полюс f(z), то 
имеет нуль в точке а и наоборот.
Доказательство.
I. Пусть а – полюс f(z), то есть 
на 
. 
, 
в силу аналитичности f(z) в окрестности. 
- аналитична на .
а- устранимая особая точка для . Положим 
.
II. Имеем 
, – аналитична в окрестности точки а а – изолированный 0 
в некоторой проколотой окрестности а.
Ч.т.д.
Пример
f(z)= 
, a=1- изолированная особая точка.
Определение.
Порядком полюса называется порядок нуля функции 
.
Пример
, z=0 это нуль функции 
для 
– это полюс.
Определим кратность нуля.
Таким образом кратность нуля n=2, так как 
.
Замечание.
Простым полюсом называется полюс порядка 1.
Теорема 3.
А- полюс порядка m функции f(z) 
когда в некоторой проколотой окрестности точки а ряд Лорана имеет вид
Доказательство
I. Пусть а- полюс порядка m функции f(z). Тогда 
– нуль порядка m 
, где 
- аналитична в окрестности точки а, и 
II. Доказательства аналогичны.
Ч.т.д.
При разложении в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки возможны 3 случая:
1) Все члены главной части равны нулю – устранимая особая точка
2) Конечное число членов главной части отлично от нуля - полюс
3) Бесконечное число членов главной части отлично от нуля – существенно особая точка.
Теорема Соxотского.
Пусть точка а – существенно особая точка для f(z), тогда каково то не было число А(конечное или бесконечное) существует такая последовательность 
при n 
, это 
/
Теорема Пикара.
В любой окрестности существенно особой точки функции f(z) принимается каждое значение 
кроме, быть может одного.
Заключение
Главной целью данной курсовой работы является рассмотрение классификации особых точек функции комплексного переменного. Данная тема неразрывно связана с интегрированием функций комплексного переменного. В данной работе мы познакомились с понятием интеграла по комплексной переменной, с интегрированием и дифференцированием функциональных рядов и их свойствами. Выяснили, что особые точки функции комплексного переменного бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс и существенно особая точка. Что соответствовало задачам нашей работы.
Список используемой литературы
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987.
2. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.: Просвещение, 1977.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1984.
4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1979.