Тело на гладкой наклонной плоскости

Рассмотрим пример, на котором покажем последовательность решения задач о равновесии твердого тела.

Пусть груз веса P находится на гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α, и удерживается нитью, натянутой вдоль самой поверхности. Требуется найти реакцию плоскости N и натяжение нити T. Параметр α может меняться в пределах от 0° до 90°.

Разобьем решение на несколько этапов.

1. Выберем тело, равновесие которого будет рассматриваться (в нашем случае – груз) и сделаем первоначальный чертеж (рис. 2.17)

Рис. 2.17

2. Изобразим силы, действующие на выбранное тело. В нашем случае на груз действует сила тяжести G ⃗, направленная вертикально вниз и численно равная его весу P. Движение груза ограничено двумя связями – поверхностью и нитью. Согласно принципу освобождаемости от связей, их можно отбросить, заменив реакциями – нормальной реакцией N ⃗ и натяжением T ⃗, соответственно (рис. 2.18).

Рис. 2.18

3. Составим условия равновесия. Поскольку система сил, действующих на тело, сходится (мы пренебрегаем размерами груза), то условие равновесия выражается единственным векторным равенством:

4. Введем систему координат так, как показано на рис. 2.19: ось x направим параллельно поверхности, ось y – перпендикулярно ей.

1. 
2. Рис. 2.19
3. Спроецируем обе части равенства (2.1) на оси координат и получим систему линейных уравнений относительно неизвестных N и T:

8. При нахождении проекций мы воспользовались известным из планиметрии фактом: если соответственные стороны двух углов перпендикулярны, то эти углы равны. Фактически это утверждение означает, что один угол получается из другого поворотом на 90° и последующим переносом в другое место на плоскости.

9. Горизонтальная прямая перпендикулярна линии действия силы G ⃗, оси x и y также перпендикулярны. Поэтому угол между вектором G ⃗ и отрицательным направлением оси y равен углу α между горизонтальной прямой и осью x.

10. В более сложных задачах, в которых к телу прикладывается большое количество сил, можно оформлять вычисление проекций на координатные оси в виде таблицы:

11.Уравнения в проекции на ту или иную ось получаются суммированием (с учетом знаков) всех слагаемых в соответствующей строке таблицы.

11. Решим полученную систему и проанализируем решение. Из (2.2) получаем, что T = P sin α, N = P cos α. Тем самым, реакции связей найдены; выясним, как они ведут себя в зависимости от угла α. При α = 0° получаем N = P, T = 0, что согласуется с чисто физическими соображениями: если опорная поверхность горизонтальна, то она полностью воспринимает вес груза, а удерживающая нить остается ненатянутой. При α = 90° (вертикальная поверхность) N = 0, T = P, т.е. груз удерживается только нитью, а поверхность его движению не препятствует.

В общем случае, если убрать нить (положить T = 0 независимо от веса P), то груз не будет находиться в равновесии. Действительно, проекция вектора G ⃗ + N ⃗ на ось y равна нулю, а на ось x она составляет – P sin α. При α ≠ 0° эта проекция меньше нуля, а значит, тело станет двигаться в сторону, противоположную оси y (вниз).

Из нашего решения и закона равенства действия и противодействия следует, что сила давления груза на опорную плоскость равна P sin α, а на нить – P cos α. Если максимально допустимые для опоры и нити нагрузки меньше указанных значений, то связи не выдержат указанного давления: плоскость может деформироваться или разрушиться, а нить – оборваться.

Замечание. Направление координатных осей выбирается из соображений удобства. Как правило, они проводятся параллельно или перпендикулярно неизвестным реакциям.

Домашнее задание:

1. Выполнить конспект

2.Ответить на вопросы:

1. В чем состоит принцип освобождаемости от связей?

2. Груз располагается на конце невесомого стержня, который с помощью цилиндрического шарнира закреплен в неподвижной точке A. Стержень отклонили от вертикали на угол α (рис. 2.20). При каких значениях α груз будет находиться в равновесии? Что изменится, если заменить стержень нитью?

Рис. 2.20

3. Как связаны друг с другом величины R, α и X_A, Y_A, характеризующие реакцию цилиндрического шарнира (рис. 2.8)?

4. Почему утверждается, что с точки зрения математики реакции подвижного шарнира и гладкой поверхности аналогичны?

5. Доказать, что реакция стержня направлена вдоль прямой, соединяющей концы этого стержня.

3.Решить задачу к лекции

1. Лампа веса 40 Н подвешена к потолку на двух одинаковых цепочках длины 26 см каждая. Расстояние между точками их подвеса составляет 40 см (рис. 2.21). Найти натяжение каждой из цепочек.

Рис. 2.22

Ответ. 1. 52 Н.

Критерии оценки:

«5» - выполнен конспект, даны правильные ответы на вопросы и решена задача;

«4» - выполнен конспект, даны правильные ответы на вопросы, допущена ошибка в решении задачи;

«3» - выполнен конспект, даны частичные ответы на вопросы