Интегрирование иррациональных функций

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл- это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал- произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

 

2.Свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

Где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

 

Метод замены переменных

Интегрирование по частям

Разложение рациональных дробей на элементарные дроби

• Разложить знаменатель рациональной дроби Q(x)P(x) на множители вида (x-a) и (x2+px+q),p2−4q<0.
• Записать дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:Q(x)P(x)=Ax−a+Bx−b+⋯
• Привести сумму справа к общему знаменателю.
• У дробей слева и справа приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
• Решив полученную систему линейных уравнений, найти коэффициенты A,B,…

 

Интегрирование рациональных дробей

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.

6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.

7. Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.

8. Проинтегрируем простейшие дроби.

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование иррациональных функций

Основным методом интегрирования функций, содержащих радикалы, является отыскание такой замены переменной, которая приводит к интегралу от рациональной функции. Если такая замена определена, то интегрирование сводится к вычислению интеграла от рациональной функции (вычисление таких интегралов рассмотрено в предыдущей главе).

В простейшем случае подынтегральная функция рационально выражается через независимую переменную и некоторое количество радикалов от одной и той же дробно-линейной функции (так называется отношение двух линейных функций):

Обозначим через наименьшее общее кратное показателей корней от дробно-линейной функции . В этом случае все радикалы будут степенями функции

Выражая отсюда , находим

Отсюда следует, что замена на приводит к интегралу от рациональной функции