Свойства преобразования Лапласа

Будем предполагать, что рассматриваемые далее функции являются оригиналами. Соответствующие им изображения (при Rep>σ₀, i=0,1,…,n) обозначим .

1. Линейность. Если - оригиналы, то для любых комплексных чисел с_i, i=1,…,n, функция также является оригиналом и справедливо равенство или

(6)

Заметим, что для функции существенно, что все слагаемые являются оригиналами, так как, например, функция является оригиналом, а слагаемое и не являются.

Справедливо и обратное утверждение: если - изображение, то

Здесь также важно, что слагаемое функции являются изображениями, поскольку из того, что - изображение, не следует, что - изображения. Например, функция является изображением, а слагаемое и не являются.

Пример. Найти изображение функции .

Используя формулу Эйлера (2.11), получаем

Из примера при a=i и a= ‑i следует: .

Тогда по свойству линейности

2. Подобие (теорема подобия). Для любого а>0 из следует

(7)

обратно: .

Пример 5.6. Найти изображение функции .

Из примера следует, что . Тогда по теореме подобия

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном а из следует

(8)

Т.е. умножению оригинала соответствует смещение изображения на а.

Пример 5.7. Найти изображение функции

Из примера следует

Тогда по теореме смещения

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого из следует

(9)

Где (рис.3), т.е. запаздыванию оригинала на соответствует умножение изображения на .

Рис. 3

Пример. - функция.

Из примера имеем . Применяя свойства линейности и запаздывания, получаем

Заметим, что, находя придел при в последнем выражении, можно получить изображение - функция :

Замечание. Дельта – функция часто встречается в инженерных приложениях как идеализация импульса конечной длительности. В теории автоматического регулирования и управления - функция вместе с единичной ступенчатой являются типовыми входными воздействиями.

Очевидно, изображение Дельта - функции не удовлетворяет необходимому условию. Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта - функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением

(10)