ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для схемы, соответствующей номеру варианта, разработать алгоритм и составить программу, которая предусматривает:
1. Расчет токов в ветвях по законам Кирхгофа.
2. Проверку баланса мощностей.
3. Построение потенциальной диаграммы для любого замкнутого контура, включающего источник ЭДС.
Сделать проверочные расчеты:
1. Расчет токов в ветвях матричным методом.
2. Промоделировать процессы в электрической схеме в среде Simulink.
Систему линейных уравнений с неизвестными токами решить методом Гаусса. Для этого создать универсальную собственную функцию. Расчеты проводить в среде пакета Matlab.
Таблица 1.1 – Исходные данные
| № вар. | 
Ом
| 
Ом
| 
Ом
| 
Ом
| 
Ом
| 
Ом
| 
В
| 
А
|
|
|
| 3 к. |
| 2 к. |
| 1 к. |
|
 (2)
|
|
 (1)
|
|
|
|
|
Рисунок 1.1 – Электрическая цепь
2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
2.1 Расчет токов по законам Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между токами для узлов электрической цепи, к которым подходит несколько ветвей. Согласно этому закону алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.
При этом токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (например, положительным), а токи, направленные от узла – с противоположным знаком (отрицательным).
Число независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, составляет 
, где 
– число узлов в схеме.
Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между ЭДС и напряжением в замкнутой электрической цепи. Согласно этому закону во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур. При составлении формул, характеризующих второй закон Кирхгофа, значения ЭДС 
и падений напряжений 
считают положительными, если направления ЭДС и токов на соответствующих участках контура совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Если же направления ЭДС и токов на соответствующих участках контура противоположны выбранному направлению обхода, то такие ЭДС и падения напряжения считают отрицательными.
Число независимых уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа, составляет 
, где 
– число ветвей с неизвестными токами в схеме, 
.
Уравнения составляются для независимых контуров.
Таким образом, получаем систему 
линейных уравнений с неизвестными, которую можно решить любым из известных методов. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному в начале расчета произвольно направлению.
Рассмотрим случай, указанный в задании. В схеме 4 узла, 7 ветвей, 1 ветвь с известным током. Необходимо составить 
уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 
уравнения по 2-му.
Cоставим систему из 3-х уравнений по 1-му закону Кирхгофа для 3-х узлов:
Также составим систему из 3-х уравнений по 2-му закону Кирхгофа для 3-х контуров:
В ходе подстановки уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа в систему по 2-му, получим следующую СЛАУ:
Решив полученную СЛАУ методом Гаусса, определим значение токов 
и 
. Затем определим токи 
и 
при помощи известных уравнений по 1-му закону Кирхгофа.
Расчет токов матричным методом
Матричный метод расчета токов в ветвях разветвленных электрических цепей, по сути, представляет собой формализацию метода контурных токов, известного из электротехники.
Вначале необходимо определить параметры цепи:
– количество узлов в схеме;
– количество независимых узлов;
– количество ветвей с неизвестными токами;
– количество независимых контуров.
Для каждой ветви выбирается положительное направление тока, для каждого контура – положительное направление обхода.
Записываются векторы-столбцы ЭДС размером (
) и источников тока 
размером (
), составляется квадратная диагональная матрица сопротивлений ветвей 
размером (
).
После этого составляется матрица независимых контуров 
размером (
) по принципу:
и матрица соединений 
размером (
):
Запишем уравнения в матричной форме по законам Ома и по I и II законам
Кирхгофа:
Умножив уравнение 
на 
слева, имеем:
,
Если объединить уравнения 
и 
в одну систему, получим:
Обозначив матрицу коэффициентов как 
и вектор свободных членов как 
:
получаем систему линейных уравнений в матричном виде 
, которую можно решить любым известным методом.
Сформируем указанные матрицы, используя данный метод.
Векторы-столбцы источников ЭДС и тока 
, а также матрица сопротивлений ветвей будут иметь следующей вид для данной цепи:
Составим матрицу независимых контуров для независимых контуров 1, 2 и 3 и матрицу соединений для независимых узлов 1, 2, 3, обозначенных на рис. 1.1.
Составив матрицу коэффициентов и вектор свободных членов , воспользуемся формулами (4) и (5), соответственно:
Решим полученную матрицу при помощи метода Гаусса получим результаты.
2.3 Построение потенциальной диаграммы
Потенциальная диаграмма является одной из проверок вычисления токов в ветвях. При обходе какого-либо замкнутого контура потенциал узла, с которого начинается обход, принимается равным нулю, и если после завершения обхода последний потенциал (то есть потенциал, с которого начинался обход) равен нулю, то токи в контуре рассчитаны правильно.
Для построения потенциальной диаграммы 
надо рассчитать вектор потенциалов (по закону Ома) и соответствующий ему вектор сопротивлений по направлению обхода контура.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.1 – Контур электрической цепи
Примем 
, тогда:
и соответствующий вектор сопративлений будет равен:
2.3 Проверка баланса мощностей
Для проверки результата вычисления токов ветвей в электрической цепи необходимо рассчитать баланс мощностей. Для любых замкнутых цепей сумма мощностей источников электрической энергии 
равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии 
.
Если направление тока 
, протекающего через источник ЭДС , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь мощность равную 
с положительным знаком. Если направление тока встречно направлению источника ЭДС , то источник ЭДС не доставляет в цепь энергию, а потребляет ее, и мощность войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.
Если схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока 
, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Для этого следует найти напряжение на зажимах источников тока 
.
Баланс мощностей не должен превышать 5 %.
Для исходной электрической цепи уравнение энергетического баланса будет иметь вид:
По 2-му закону Кирхгофа в данной электрической цепи равен:
