Объем 
тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, прямыми 
выражается интегралом
Объем 
тела, образованный вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
и прямыми 
определяется формулой
.
5.2(1). 
, 
, 
Решение .
На рис. 2 изображена область, ограниченная параболой 
и прямой 
, на рис. 3 - тело, полученное вращением вокруг оси 
фигуры, изображенной на рис.2.
Рис. 2. Рис. 3.
Объем тела вращения вокруг оси состоит из двух частей – тела, полученного вращением вокруг оси параболы (параболоида вращения) и конуса - тела, полученного вращением вокруг оси ОХ прямой . Следовательно,
Ответ: 
(куб. ед.).
5.2(2). 
Решение .
На рис. 4 изображена область, ограниченная параболой 
и прямыми линиями: 
и 
На рис. 5 изображено тело вращения вокруг оси 
Рис. 4 Рис. 5.
Согласно правилу вычисления объемов вращения вокруг оси 
, получим
Ответ: 
(куб. ед.).
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.
Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных 
является двойной интеграл [2]:
.
Область интегрирования 
называется правильной, если прямые, проведенные через любую внутреннюю точку области параллельно осям и пересекают границу области не более чем в двух точках. Двойной интеграл от непрерывной в правильной области функции сводится к повторному интегралу [2], т.е. к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Задание 6. 6.1 
.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле; 6.2. Найти среднее значение функции 
в области: 
.
6.1.а. 
,
6.1.b. 
.
6.1. а. ,
Решение.
Опишем область интегрирования .
Уравнение нижней границы: 
если 
и 
, т.е. 
, если 
. Уравнение верхней границы области :
если и 
, т.е. , если .
Область изображена на рис.6. Область правильная, ее можно
Рис. 6 Рис. 7
описать и так (рис. 7): 
Согласно правилу расстановки пределов в повторных интегралах, получим
.
Ответ: .
6. 1. b. .
Решение. Область интегрирования 
определяется соотношениями:
Кривая 
левая ветвь параболы 
(рис. 9).
Рис. 8 Рис. 9
Уравнение прямой 
: 
или 
Точки 
- это точки пересечения параболы с прямыми 
и 
Область состоит из двух областей: 
: 
и 
.
На рис. 8 указаны уравнения границ области, которые надо использовать для области, правильной в направлении оси .
Следуя правилам составления повторного интеграла, получим
Ответ:
Средним значением функции 
в области называется выражение
.
Здесь 
площадь области .
6.2. Найти среднее значение функции в области: .
Решение. Область интегрирования - прямоугольник, изображена на рис. 10. Очевидно, 
Рис. 10 Рис. 11
Сведением к повторному интегралу, вычислим двойной интеграл
= 
Внутренний интеграл вычисляем при фиксированных значениях «
».
Тогда 
Отсюда по формуле Ньютона - Лейбница получим
Следовательно, среднее значение функции 
Ответ: 1.
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.
Тройной интеграл - обобщение определенного интеграла на трехмерную область 
. Как и в двойном интеграле, он сводится к повторному (трехкратному) интегралу от непрерывной функции 
по правильной области 
Область 
называется правильной, если прямые, проведенные через любую внутреннюю точку области параллельно координатным осям, пересекают границу области не более, чем в двух точках.
Объем области выражается тройным интегралом
.
Задание 7. Изобразить проекцию области на координатную плоскость 
и область интегрирования . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: 
Решение.
На рис. 11, 12, 13 изображены проекции области на координатные плоскости 
, на рис. 14 - область .
Рис. 12 Рис. 13
Рис. 14
Объем тела вычисляем по формуле: .
Перейдем к повторному интегралу:
.
Вычисляем внутренний интеграл при постоянных значениях и 
:
Переходим к повторному интегралу по области 
:
Вычисляем внутренний интеграл по переменной 
Ответ: 4 (куб. ед.).
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ