МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт – Физико-технический
Направление (специальность) - физика
Кафедра – Общей физики
Отчет
По дисциплине: Компьютерные технологии в науке и образовании
По теме: Задача теплопроводности
Выполнил студент гр. 0БМ71 _____________ _________Кабдылкаков Е.А.
(Подпись) (Дата) И.О.Фамилия
Проверил ______________________________________________.Е.А.Маслов
должность (Подпись) (Дата) И.О.Фамилия
:
Томск – 2017
Содержание
1 Условие задачи. 3
2 Физико-математическая постановка задачи. 3
2.1 Метод решения задачи: 5
3. Алгоритм численного решения. 5
4 Результаты решения задачи. 8
Выводы.. 9
Список литературы.. 9
Программный код на языке Pascal. 10
1Условиезадачи
Анализируется теплопередача через плоскую бесконечную пластину или изолированный стержень (рис. 1). На одной границе пластины поддерживается постоянная температура TL = 300 °C, на другой границе - температура TR = 100 °C. Начальная температура равна T 0 = 20°C, источники тепловыделения внутри пластины отсутствуют.
2 Физико-математическая постановка задачи
Анализируется теплопередача через плоскую бесконечную пластину или изолированный стержень (рис. 1). На одной границе пластины поддерживается постоянная температура TL = 300 °C, на другой границе - температура TR = 100 °C. Начальная температура равна T 0 = 20°C, источники тепловыделения внутри пластины отсутствуют.
При постановке задачи были приняты следующие допущения:
1. Вклад радиационной составляющей в теплообмен на внешней поверхности не учитывается.
2. Возможные процессы плавления и окисления материала преграды не рассматриваются.
3. Теплофизические характеристики (λ, ρ, с) пластины постоянны.
Рисунок 1. Геометрия рассматриваемой задачи
x – декартова система координат. TL – температура начальной стороны пластины, TR – температура внешней стороны пластины;
Математическая модель, описывающая в рамках сформулированной задачи процесс прогрева КМ, включает одномерное уравнение теплопроводности (1) с соответствующими начальными (2) и граничными условиями (3), (4):
𝑡> 0,0 <𝑥<𝐿
| (1) |
Начальное условие:
| (2) |
Граничные условия:
Условие (II-рода) неограниченности пластины в направлении оси y:
| (3) |
| (4) |
где T – температура; t – время; ρ – плотность; с – коэффициент удельной теплоемкости; λ – коэффициент теплопроводности [1]
Алгоритм численного решения
При решении дифференциального уравнения в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей (МКР). Вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечно-разностные аппроксимации. При построении дискретных аппроксимаций краевых дифференциальных задач нужно стремиться увязать две, возможно, противоречивые цели: хорошее качество аппроксимации и эффективное устойчивое решение получающихся при этом алгебраических систем. При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Заменяя частные производные дифференциального уравнения (1) конечными разностями получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыкания используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ [1].
Разобьём пластину по толщине на N равных промежутков, т.е. построим конечно-разностную сетку (рис. 2). На рисунке 2 представлена, конечно-разностная сетка области решения
|
| Рисунок 2. Конечно-разностная сетка |
Определим значение температуры в i -ом узле в момент времени
| (5) |
| (6) |
| (7) |
| (8) |
где τ–шаг интегрирования по времени; hx – шаг интегрирование по пространству; n – номер шага по времени; i – номер шага по пространству; Nx – количество шагов по длине; Nt – количество шагов по времени.
Далее заменим дифференциальные операторы в (1) на их конечно-разностные аналоги [2]. Будем пользоваться неявной схемой:
| (9) |
| (10) |
В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями дифференциального уравнения (1) получим следующее разностное уравнение (11):
| (11) |
Для решение уравнение методом прогонки нужно привести уравнение (11) к следующему виду:
 .
| (12) |
Перегруппируем слагаемые в уравнении (11) в порядке представленном в уравнении (12), а именно:
| (13) |
Тогда получим соответствующие коэффициенты разностного шаблона (12):
| (14) |
4Результатырешениязадачи
Спомощью программыбылполученграфикраспределениятемпературыподлинепластинычерез60 с (Рис. 5).
Рисунок5.ГрафикизменениятемпературывпластинепоосиОХ,через 60 с
Результаты, которые были получены в резульате решения задачи были сравненый со значениями графика данной задачи. Результаты вычисления были сравнены с данными задачи (Таблице 1).
Таблица 1. Сравнение данных вычисления с данными задачи
| x, м | Tcalc, °С | Ttrue, °С | Δ, °С | Δ,% |
| 0,000 | 300,0000 | 300,0000 | 0,00001 | |
| 0,03 | 149,6390 | 150,0000 | -0,36140 | -0,241542 |
| 0,07 | 75,9014 | 76,0000 | -0,09860 | -0,1299318 |
| 0,10 | 100,0000 | 100,0000 | 0,00001 |
Относительная ошибка программы составляет менее 1 %, что говорит о правильности составленной программы.
Выводы
С помощью метода конечных разностей было расчитано значение температуры в центре пластины в результате температурной разности двух сторон пластины в течении 60 секунд.
Была разработана программа на языке Pascal, в которой нестационарная уравнение теплопроводности решалось методом конечных разностей. Программа был протестирована на краевой задаче на основе одномерного уравнения теплопроводности. Результаты вычисление программы совпадали со значениеми на графика данной в задаче, что подтверждаетточность вычисление программы.
Список литературы
1. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. / Г.В. Кузнецов, М.А. Шеремет. – М.:Томск: Изд-во ТПУ, 2007. — 172 с.
2. Численные методы. Сборник задач: учеб. Пособие для вузов / В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др.; под ред.У.Г. Пирумова. – М.: Дрофа, 2007. — 144 с.: ил.ISBN 978-5-358-01310-0
Программный код на языкеPascal.
Const
lamda=46.0;
ro=7800.0;
cp=460.0;
Lx= 0.1;
Nx= 100;
Time=60;
Nt=60;
T0=20.0;
Tl=300.0;
Tr=100.0;
type vec= array [0..Nx] of real;
var ai, bi, ci, di, Ti: vec;
i, k: integer; txt: text;
hx, tau, t, z: real;
procedure TDMA(N:integer; a, b, c, d: vec; var x: vec);
var i: integer; z: real;
P, Q: vec;
Begin
P[0]:= -c[0]/b[0]; Q[0]:=d[0]/b[0];
for i:=1 to N do begin
z:=a[i]*P[i - 1]+b[i];
P[i]:= - c[i]/z;Q[i]:=(d[i] - a[i]*Q[i - 1])/z;
end;
x[N]:=Q[N];
for i:=N - 1 downto 0 do
x[i]:=P[i]*x[i+1]+Q[i];
End;
BEGIN
hx:=Nx; tau:=Nt;
hx:=Lx/hx; tau:=Time/Nt;
for i:= 0 to Nx do
Ti[i]:= T0;
ai[0]:=0.0; bi[0]:=1.0; ci[0]:=0.0; di[0]:=TL;
ai[Nx]:=0.0; bi[Nx]:=1.0; ci[Nx]:=0.0; di[Nx]:=TR;
z:=hx*hx;
for i:=1 to Nx-1 do begin
ai[i]:=-lamda/z;
bi[i]:=2.0*lamda/z+ro*cp/tau;
ci[i]:=-lamda/z;
end;
z:=ro*cp/tau;
t:=0;
While (t<Time) do Begin
t:=t+tau;
for i:=1 to Nx-1 do
di[i]:=z*Ti[i];
TDMA(Nx,ai,bi,ci,di,Ti);
End;
Assign(txt,'T(x).txt');
Rewrite(txt);
for i:=0 to Nx do
writeln(txt,' ',hx*i:16:5,' ',Ti[i]:16:5);
close(txt);
End.