Усеченная пирамида. Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂...A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂,...В_n (рис. 5). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n (нижнее и верхнее основания соответственн о), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, … A_nB_n называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n обозначают следующим образом: A₁A₂...A_nВ₁В₂...В_n.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рис.6 отрезки HH₁ и В₁O –высоты усеченной пирамиды.

Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. Докажем это свойство.

Рассмотрим, например, боковую грань A₁А₂В₂В₁ (см. рис. 5). Стороны A₁А₂ и В₂В₁ параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РA₁А₂ пересекается с параллельными плоскостями α и β. Две другие стороны A₁B₁ и A₂B₂ этой грани не параллельны - их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань - трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани - трапеции.

			Рис.6 Высота Усеченной пирамиды
	Рис.5 Усеченная пирамида

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Для усечённой пирамиды, верно равенство S_{полн.усеч.}= S_бок+2S_осн.

Объём пирамиды.

Теорема. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Доказательство теоремы стр.168-169 [1].

Решение задач.

Задача №1. Дана пирамида SABCD, вершиной которой является точка S, в основании лежит ромб, а высота SO пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что ASO равен углу SBO, а диагонали основания равны 6 и 24.

Решение. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то AO=12,

BO=3. Заметим, что так как SO – высота пирамиды, то △ASO и △BSO – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть SO=h, тогда из подобия имеем: = ⇒ см

Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей т.е.

,

то объем пирамиды равен

Ответ: 144

Задача №2.

Высота SH треугольной пирамиды SABC падает на середину стороны AB, ABC – правильный треугольник со стороной 6. Найдите объем пирамиды, если SC= .

Решение. Так как H – середина AB и треугольник правильный, то

CH – высота .

, отсюда найдём

Так как SH – высота пирамиды, то △SHC – прямоугольный.

По теореме Пифагора имеем SH= − = − = = .

Следовательно, объем равен V= ⋅SH⋅ = ⋅ ⋅9 =9.

Ответ: 9

Контрольные вопросы

1. Дайте определение пирамиды.

2. Сформулируйте следующие определения: основание, боковые рёбра, боковые грани, высота пирамиды.

3. Дайте определение n-угольной пирамиды.

4. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

5. Сформулируйте определение правильной пирамиды, апофемы правильной пирамиды.

6. Какие свойства правильной пирамиды вам известны?

7. Сформулируйте теорему о вычисленииплощади боковой поверхности правильной пирамиды.

8. Дайте определение усечённой пирамиды.

9. Чем являются боковые грани усечённой пирамиды?

10. Сформулируйте теорему о вычисленииплощади боковой поверхности усечённой пирамиды.

11. Чему равен объём пирамиды, объём усечённой пирамиды?

Литература

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.

Дополнительная литература

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

Задание

1. Прочитать и разобрать лекцию, сделать конспект.

2. Ответить письменно на контрольные вопросы.

3. Решить по литературе [1] задачи №684 и №685.

4. Переслать сканы выполненного задания личным сообщением на https://vk.com/id587846845 или на электронную почту annokhonchenko@rambler.ru