При установившемся процессе 
, то, поскольку коэффициент 
не может равняться нулю, следовательно, 
. (17.1)
Это уравнение называют уравнением теплопроводности плоской стенки в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.
Рассмотрим перенос теплоты теплопроводностью при установившемся процессе через плоскую стенку, длина и ширина которой существенно больше ее толщины.
Примем, что t ст1 > t ст2, температурное поле одномерно и, следовательно, температура изменяется только по одному направлению – вдоль оси х. Поэтому:
, следовательно, в данном случае уравнение (17.1) имеет вид:
. (17.2)
Интегрирование этого уравнения (17.2) приводит к функциям:
и 
. (17.3)
Для определения значений С 1 и С 2 примем граничные условия:
при х = 0 t = t ст1 и, поэтому, tст1= С 2,
при х = δ t = t ст2 и, поэтому, tст2 = С 1∙δ + С 2 ; tст2 = С 1∙δ+ tст1.
Откуда 
.
Подставив значения констант С 1 и С 2 уравнение (17.3), находим
.
Тогда
.
Полученное значение температурного градиента подставим в закон Фурье (17.0):
или
. (17.4)
Это уравнение называют уравнением теплопроводности плоской стенки. Запишем его через плотность теплового потока:
.
Коэффициент 
характеризует тепловую проводимость стенки, 
– термическое сопротивление.
Для многослойной стенки:
, 
.
.
.
Из этого выражения можно получить:
.
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки
Перепишем уравнение Фурье (17.0) в полярных координатах.
. (17.5)
Боковая поверхность цилиндра радиуса r равна: 
, где L – длина цилиндрической стенки. Перепишем (17.5):
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируем это уравнение в пределах от r 1 до r 2 и соответственно – от 
до 
:
,
откуда
. (17.6)
Уравнение (17.6) показывает, что по толщине цилиндрической стенки температуры изменяются по криволинейному (логарифмическому) закону. Это уравнение представляет собой уравнение теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена.
Когда отношение 
< 2, что характерно для обычных металлических труб, из которых формируются теплообменники, это уравнение может быть заменено уравнением теплопроводности плоской стенки.
Тепловое излучение
Во всех телах, температура которых больше 0 °К, происходит превращение тепловой энергии в лучистую. Носителями лучистой энергии являются электромагнитные колебания с различными длинами волн. Возникновение потока лучей в результате превращения тепловой энергии в лучистую называют излучением.
Твердые тела обладают сплошным спектром излучения (испускают волны всех длин при любой температуре).
Когда поток излучения Q u из окружающей среды попадает на какое либо тело, то в общем случае часть этого потока Q R отражается от тела, часть Q A поглощается телом и часть Q D проходит через тело.
Q u = Q R + Q A + Q D – уравнение баланса энергии.
Если каждое слагаемое отнести к величине Q u, получим:
Q R/ Q u + Q A/ Q u + Q D/ Q u = R + A + D = 1.
В пределе каждое из трех слагаемых может быть равно единице, если каждое из оставшихся двух равно нулю.
Если А = 1 (R = D = 0) тело полностью поглощает все попадающие на него лучи – абсолютно черное тело (например, технический углерод – сажа – поглощает до 96 % падающих на него лучей).
При R = 1 (А = D = 0) тело отражает все попадающие на него лучи – абсолютно белое тело (твердые тела с полированной поверхностью).
При D = 1 (R = А = 0) тело пропускает все падающие на него лучи – абсолютно прозрачное тело (диатермичное тело).
При D = 0 сумма R + А = 1 – это серые тела, к ним относятся твердые и жидкие тела, которые практически непрозрачны.
Закон Стефана-Больцмана
Полное количество энергии, излучаемое в единицу времени единицей поверхности тела F во всем интервале длин волн (от λ = 0 до λ = ∞), называют излучательной (лучеиспускательной) способностью Е данного тела.
Е = Q u / F ∙ r,
где Q u – энергия, излучаемая телом.
Излучательную способность тела, отнесенную к длинам волн от λ до λ + dλ, то есть к интервалу длин волн dλ, называют интенсивностью излучения I.
.
Проинтегрировав последнее выражение, можно установить связь между лучеиспускательной способностью и интенсивностью излучения:
.
Планком теоретически была получена следующая зависимость общей энергии теплового (температурного) излучения от абсолютной температуры и длины волн:
, (17.7)
где Т – абсолютная температура, К; С 1 = 3,22·10-16(Вт/м2) и С 2 =1,24·10-2 (Вт/м2) – константы.
Площадь под каждой из кривых на рисунке выражает общую удельную энергию излучения (т.е. приходящуюся на единицу поверхности в единицу времени) для всего спектра длин волн.
Уравнение (17.7) после преобразования, разложения знаменателя в ряд и последующего интегрирования приводит к сходящемуся ряду, вычисление суммы членов которого позволяют выразить полную энергию излучения, или излучательную способность абсолютно черного тела.
, (17.8)
где Т – абсолютная температура поверхности тела, К; К 0 = 5,67·10-8 (Вт/(м2К4)) – константа лучеиспускания (излучения) абсолютно черного тела.
Для того, чтобы избежать оперирования с большими величинами 
, в технических расчетах множитель 10-8 относят к величине Т и уравнение (17.8) используют в несколько ином выражении:
,
где С 0 = К 0 · 108 = 5,67 (Вт/(м2К4)) – коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела.
Закон Стефана-Больцмана применим также к серым телам, для которых оно принимает вид:
,
где ε = С / С 0 – относительный коэффициент лучеиспускания, или степень черноты серого тела; С – коэффициент лучеиспускания серого тела.
Величины степени черноты зависят не только от природы материала, его окраски и температуры, но также от состояния поверхности (полированная или шероховатая). Значения ε приводятся в справочной и специальной температуре.
Закон Кирхгофа
Для серых тел необходимо знать зависимость между излучательной и поглощательной способностью.
Рассмотрим лучистый теплообмен между двумя параллельными поверхностями, расположенными так, что излучение одной из них обязательно попадает на другую без потерь.
Одна поверхность – абсолютно черная, ее температура Т 0, другая – серая, ее температура Т, а поглощаемая способность А, причем Т > Т 0.
Баланс лучистого теплообмена между поверхностями определяется уравнением:
q = Е - А·Е 0,
где Е – теплота излучения серого тела, полностью поглощаемая абсолютно черным телом, Е 0 – теплота излучения абсолютно черного тела, частично (А·Е 0) поглощаемая серым.
При Т = Т 0 q = 0, тогда Е =А · Е 0 , следовательно, Е/А = Е 0.
Поскольку вместо одной серой поверхности может быть взята любая, то:
Е/А = Е 1/ А 1 = Е 2/ А 2 = … Е 0 = f (Т). (17.9)
Зависимость (17.9) выражает закон Кирхгофа, согласно которому отношение лучеиспускательной способности любого тела к лучепоглощательной способности при той же температуре является величиной постоянной, равной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.
Тепловые лучи, попадая на шероховатую поверхность, многократно отражаются от нее, что приводит к лучшему поглощения лучистой энергии, по сравнению с поглощением гладкой поверхностью. Тогда, в соответствии с законом Кирхгофа, шероховатые поверхности должны обладать также большей лучеиспускательной способностью, чем гладкие. Наоборот, лучеиспускательная способность полированных поверхностей, хорошо отражающих падающих на них лучей, в согласии с законом Кирхгофа, должна быть низкой.
Количество тепла Q л, передаваемого посредством излучения от более нагретого твердого тела, имеющего температуру Т 1 ºК, определяется по уравнению:
, (17.10)
где F – поверхность излучения; τ – время; 
– коэффициент взаимного излучения; φ – средний угловой коэффицент, который определяется формой и размерами участвующих в теплообмене поверхностей, их взаимным расположением в пространстве и расстоянием между ними. Значения углового коэффициента приводятся в справочной литературе; если тело, излучающее тепло, заключено внутри другого, то φ = 1.
В этом случае коэффициент взаимного излучения выражается уравнением:
. (17.11)
В выражении (17.11) все члены с индексом «1» относятся к более нагретому телу, расположенному внутри другого, а все члены с индексом «2» – к телу, поверхность которого окружает первое тело.
Если излучающие поверхности равны и параллельны, то 
.
Для того, чтобы ослабить лучистый теплообмен между телами или организовать защиту от вредного излучения, используют перегородки – экраны, изготовленные из хорошо отражающих лучи материалов.
Тепловое излучение газов
Излучение газов существенно отличается от излучения твердых тел. Одноатомные газы (Не, Аr и др.), а также многие двухатомные газы (Н2, О2, N2 и др.) прозрачны для тепловых лучей, т.е. являются диатермичными. Вместе с тем ряд имеющих важное техническое значение многоатомных газов и паров (СО2, SO2, NH3, H2O и др.) могут поглощать лучистую энергию в определенных интервалах длин волн. В соответствии с законом Кирхгофа эти газы обладают излучательной способностью в тех же интервалах длин волн. Кроме того, в отличие от твердых тел газы излучают не с поверхности, а из объема слоя, поэтому излучательная способность газов зависит от формы сосуда, в котором газ находится.
Для каждой из полос спектра Δλ количество излучаемой газом энергии равно:
Общая лучеиспускательная способность газов (суммарная для всех полос спектра) не пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры: для паров воды E ~ T 3, для двуокиси углерода E ~ T 3,5 и т.д. Однако в технических расчетах принимают, что газы следуют закону Стефана-Больцмана (отклонения учитываются величиной степени черноты газа εг). Тогда:
,
где 
– степень черного газа, зависит от температуры, парциального давления в газовой смеси и толщины слоя газа.
Конвекция и теплоотдача
Под конвекцией понимают передачу теплоты при движении жидкости или газа. При этом перенос теплоты происходит как бы механически – макрообъемными частицами потока теплоносителя.
Естественная конвекция (свободное движение жидкости) возникает вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости и определяется физическими свойствами жидкости, ее объемом и разностями температур нагретых и холодных частиц.
Вынужденная конвекция (принудительное движение жидкости) возникает под действием нагнетателя (насоса, вентилятора) и определяется физическими свойствами жидкости, ее скоростью, формой и размерами канала, в котором осуществляется движение.
Конвективный теплообмен (теплоотдача) – это процесс распространения тепла в жидкости (газе) от поверхности твердого тела или к его поверхности одновременно конвекцией и теплопроводностью.
При теплоотдаче тепло распространяется от поверхности твердого тела к жидкости через пограничный слой за счет теплопроводимости и от пограничного слоя в массу жидкости преимущественно конвекцией.
На рисунке показана структура теплового и гидродинамического пограничных слоев, здесь δтепл – толщина теплового пограничного слоя, δгидр – толщина гидродинамического пограничного слоя.
На теплоотдачу существенное влияние оказывает характер движения жидкости. При турбулентном движении теплообмен происходит интенсивнее.
Закон Ньютона (уравнение теплоотдачи)
. (17.12)
Согласно этому уравнению, количество тепла d Q, переданное от теплообменной поверхности к окружающей среде (или наоборот), прямопорционально поверхности теплообмена d F, разности температур поверхности t ст и окружающей среды t ж и времени dτ, в течение которого осуществляется теплообмен.
Коэффициент пропорциональности в уравнении α называется коэффициентом теплоотдачи и характеризует интенсивность переноса тепла.
.
Таким образом, коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество тепла передается от 1 м2 поверхности стенки к жидкости (или от жидкости к 1 м2 поверхности стенки) в течение 1 с при разности температур между стенкой и жидкостью 1 градус.
Для установившегося процесса 
.
Для расчета конкретных установившихся процессов обычно принимают, что значение коэффициента теплоотдачи постоянно вдоль всей теплообменной поверхности:
.
Коэффициент теплоотдачи зависит от следующих факторов:
– скорости жидкости, ее плотности и вязкости, т.е. от переменных, определяющих режим течения жидкости;
– тепловых свойств жидкости (удельной теплоемкости, теплопроводности), а также коэффициента объемного расширения;
– геометрических параметров – формы и определяющих размеров стенки (для труб их диаметр и длина), а также шероховатости стенки.
Дифференциальное уравнение конвективного переноса тепла (уравнение Фурье-Кирхгофа)
Для того чтобы учесть распространение тепла одновременно теплопроводностью и конвекцией, необходимо локальное изменение температуры (дифференциальное уравнение теплопроводности) дополнить уравнением, учитывающим конвективное изменение температуры:
,
конвективное изменение температуры можно представить как сумму:
.
Тогда общее изменение температуры будет равно:
.
Это уравнение является математическим описанием процесса распространения тепла в движущейся среде одновременно теплопроводностью и конвекцией.
Тепловое подобие
Полученное сложное дифференциальное уравнение преобразуют, с целью получения чисел подобия. Воспользуемся схемой получения чисел подобия.
После преобразования получаем выражение:
.
1. Разделим 
на 
:
,
.
Fo – критерий Фурье характеризует условие подобия неустановившихся процессов.
2. Разделим 
на :
.
Pe – критерий Пекле характеризует соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.
Рассмотрим подобие граничных условий. Через пограничный слой у стенки тепло передается теплопроводностью в направлении, перпендикулярном направлению движения потока. Следовательно, по закону Фурье, количество тепла, проходящее в пограничном слое толщиной δ, составляет:
.
Количество тепла, проходящее от стенки в ядро потока, определяется по уравнению теплоотдачи:
.
При установившемся процессе теплообмена количества тепла, проходящие через пограничный слой и ядро потока, равны. Поэтому, приравнивая два последних выражения и сокращая подобные члены, получаем:
.
Преобразуя это выражение в соответствии теорией подобия, получаем:
.
Nu – критерий Нуссельта характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью к теплоте, передаваемой теплопроводностью.
Необходимыми условиями подобия процессов переноса тепла является, кроме того, соблюдение гидродинамического и геометрического подобия. Таким образом, обобщенное уравнение конвективного теплообмена выражается функцией:
,
или с учетом того, что критерий Нуссельта является определяющим, так как в него входит искомая величина коэффициента теплоотдачи:
.
Критерий Пекле часто представляют в виде произведения:
,
где Pr – критерий Прандтля, характеризует подобие физических свойств теплоносителей.
Для установившегося процесса теплообмена можно записать:
.
При теплоотдаче в условиях естественной конвекции в число определяющих критериев надо ввести критерий Фруда 
. Но, так как трудно определить скорость движения жидкости при естественной конвекции, целесообразно заменить критерий Фруда критерием Архимеда 
.
Для расчета тепловых процессов удобнее разность плотностей заменить разностью температур:
,
где 
и 
– плотности жидкости в точках при температурах t и t 0 соответственно, Δ t – разность температур жидкости и стенки, β – коэффициент температурного расширения.
Подставляя в критерий Архимеда значение Δρ, получаем выражение нового критерия – критерия Грасгофа Gr.
.
Критерий Грасгофа показывает отношение сил вязкости к произведению подъемной силы, определяемой разностью плотностей в различных точках неизотермического потока, и силы инерции. Он характеризует движение при естественной конвекции.
В результате, при естественной конвекции уравнение теплоотдачи принимает вид:
.
При вынужденной теплоотдаче, когда влиянием силы тяжести можно пренебречь, критерий Фруда из общего уравнения теплоотдачи может быть исключен, тогда:
.
Это выражение можно представить в виде степенной функции:
,
где А, m и n – константы, определяемые опытным путем.