Экскурс в историю появления логарифмов

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Проблемы возникали и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития Логарифмы были изобретены одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632).

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений. Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение

А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается: логарифм числа по основанию

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию

Например:

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

г) , так как = =

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.

Возведение в степень	Логарифмирование

Десятичные и натуральные логарифмы

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмомчисла в и обозначается, т.е. вместо пишут .

Например,

Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e

Примеры вычисления десятичных логарифмов:

1. так как
2. , так как
3. так как
4. так как
5. так как
6. , так как

3. Основное логарифмическое тождество:

Равенство , где а > 0, a 1, b > 0, называют основным логарифмическим тождеством.

x = log_ab – корень уравнения a^x = b, где а > 0, a 1, b > 0.

Основные логарифмические свойства:

4. Примеры с решениями

1. Вычислить: 1) 2) 3)

Решение. 1) , так как 3⁴ = 81.

2) Пусть . Тогда по определению логарифма , или , откуда , .

3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .

2. Найти: 1) 2) 3)

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) 2)

3)

3. Вычислить:

1) 2) 3)

Решение.

1)

2)

3)

5. Задания для самостоятельного решения:

1. Вычислить:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.

1. Вычислите десятичные логарифмы:

1) 2) 3) 4) .

Ответы: - 4; - 1; ½; 4.

1. Вычислите натуральные логарифмы:

1) 2) 3) 4)

Ответы:

1. Вычислите:

1) 2)

Ответы: - 2; 2.

Алгоритм выполнения домашнего задания:

1. Отвечаем в тетрадке письменно на вопросы а)-в) (см. стр.1).

2. Конспектируем теоретические сведения (см. пункт Изложение нового материала – стр.1-3, включительно Основные логарифмические свойства).

3. Разбираем внимательно решенные примеры (см. пункт Примеры с решениями- стр.3-4).

4. Смотрим презентацию.

5. Выполняем задания для самостоятельного решения (см. стр. 4). Выполняем все в обычной тетради по математике. Это не практическая работа. Если с собой не взяли тетради по математике, то выполняем в тонкой и привозим выполненные задания с собой.

6. Всем удачи! Если есть вопросы, то пишите мне в комментариях. Не забывайте проходить регистрацию строго по времени. Задания также выкладываются по времени.