Кривые второго порядка в полярных координатах




ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Линии второго порядка

Линия (кривая) второго порядка – это линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат x и y, т.е. уравнением вида:

  (1)

При соответствующем выборе системы координат уравнение линии второго порядка можно привести к простейшему виду.

К линиям второго порядка относятся: эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (эта постоянная больше расстояния между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса:

  , (2)

 

где a =ОА - большая полуось,

b =ОВ - малая полуось.

Координаты фокусов: F 1(- c; 0), F 2(c;0), где c = .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2 с к большой полуоси 2 а: (, так как с<a).

Директрисами эллипса называются прямые, уравнения которых .

Расстояние точки М (х,y) эллипса до фокусов (фокальные радиусы) определяются формулами:

r1= ; r2= .  

 

В частном случае a = b фокусы F 1 и F 2 совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид:

  , или ,  

т.е. описывает окружность радиуса с центром в начале координат.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (указанная разность берется по абсолютному значению; требуется также, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля).

Каноническое уравнение гиперболы:

  , (3)

где а = ОА 1= ОА 2 – действительная полуось;

b - мнимая полуось.

Фокусы гиперболы: F 1(- c;0), F 2(c;0), где .

 

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ( >1, так как с > a).

Асимптоты гиперболы: y = .

Расстояния точки М (х;y) гиперболы до ее фокусов определяется формулами: r1= ; r2= .

Прямые х = называются директрисами гиперболы.

Гиперболы и называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее уравнение:

 

 

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат, имеет вид:

  . (4)

 

Уравнение директрисы . Парабола имеет фокус F ().

Фокальный радиус точки М(х;y) параболы выражается формулой r = .

 

Парабола, симметричная относительно оси Оy и проходящая через начало координат, имеет уравнение:

  (5)

Уравнение директрисы этой параболы: .

Фокус параболы: F (0; ).

Фокальный радиус точки М (x;y) параболы: r = .

Кривые второго порядка в полярных координатах

Полярными координатами точки М на плоскости называется полярный радиус >0 и полярный угол , отсчитываемый от полярной оси ОР котрезку ОМ против движения часовой стрелки ( <0, если поворот осуществляется по часовой стрелке). Значение угла, удовлетворяющее условию 0 , называют главным значением.

Прямоугольные декартовы координаты и полярные координаты точки М, при условии, что начало декартовой системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох декартовой системы координат совпадает с направлением полярной оси, связаны формулами:

 
(6)

Уравнение линии на плоскости в полярных координатах:

(7)

 

Примеры некоторых кривых и их уравнений в полярных координатах:

 

r = спираль Архимеда (8)
     
r = гиперболическая спираль (9)
     
r = логарифмическая спираль (10)
     
лемниската Бернулли (11)
     
r = четырехлепестковая роза (12)
     
r= кардиоида (13)
     
r = улитка Паскаля (14)
     
r = эллипс, если <1, парабола, если =1, гипербола, если >1. (15)

 

 
  Рисунок 1 – Спираль Архимеда Рисунок 2 – Гиперболическая спираль
 
Рисунок 3 – Логарифмическая спираль Рисунок 4 – Лемниската Бернулли  
 
Рисунок 5 – Четырехлепестковая роза Рисунок 6 – Кардиоида  
   
Рисунок 7 – Улитка Паскаля    
         

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-10 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: