Элементы электрической цепи синусоидального тока

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

1. Аналитический способ

Для тока

(2.1)

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i),

для напряжения

(2.2)

u(t) = U_m sin (ωt +ψ_u),

для ЭДС

(2.3)

e(t) = E_m sin (ωt +ψ_e),

В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

I_m, U_m, E_m – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψ_i, ψ_u, ψ_e – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.

Величины i, I_m – измеряются в амперах, величины U, U_m, e, E_m – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψ_i, ψ_u, ψ_e могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψ_i, ψ_u, ψ_e зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

i(t) = I_m sin(ωt - ψ_i).

3. Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

i₁(t) = I_m1 sin(ωt)
i₂(t) = I_m2 sin(ωt + ψ₂)

i(t) =?

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

i(t) = i₁(t) + i₂(t) = I_m1 sin(ωt) + I_m2 sin(ωt - ψ₂) = I_m sin(ωt + ψ).

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

(2.4)

I_m sin ψ = I_m2 sin ψ₂;

(2.5)

I_m cos ψ = I_m2 cos ψ₂ + I_m1;

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

;
.

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

Í_m = I_me^jψ,

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.