Приложения двойных интегралов

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть в ограниченной замкнутой области D на плоскости Oxy определена непрерывная функция z = f(x,y). Разобьем область D на n областей с площадями D S_i, в каждой из них выберем произвольную точку (x_i, y_i) и составим интегральную сумму . Предел этой суммы при неограниченном увеличении числа областей разбиения и при стремлении диаметра наибольшей области max d_i к нулю называется двойным интегралом от функции z = f(x,y) по области D:

Элементарная площадь dS в декартовых координатах dS = dxdy`.

Для вычисления двойного интеграла важное значение имеет вид области D.

a) б)

y y

y=j₂(x) I II

d

D

DDD D

y=j₁(x)

c

A в x 0 x

Рис. 1.

Если область D может быть задана так, как показано на рис.1.а, двойной интеграл вычисляется по формуле

. (1)

Если область D имеет вид такой, как показано на рис.1.б, двойной интеграл вычисляется по формуле

(2)

В более сложных случаях область D разбивают на простые области типа I и II и пользуются свойством аддитивности двойного интеграла:

если D = D₁ + D₂, то .

Двойной интеграл в полярных координатах

Переход от прямоугольных декартовых координат к полярным выполняется по формулам

, (3)

при условии, что полюс помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль оси Ox. Элемент площади в полярных координатах имеет вид:

dS = rdrdj.

Рис. 2.

Если область D задана так, как показано на рис.2 (j₁ £ j £ j₂,, r₁(j) £ r £ r₂(j)), то переход к полярным координатам в двойном интеграле выполняется по формуле:

. (4)

Если область D охватывает начало координат, в (4) надо положить r₁(j) = 0.

Приложения двойных интегралов

Площадь плоской области D на плоскости Oxy вычисляется по формуле:

. (5)

Если D - плоская пластинка, лежащая в плоскости Oxy, с поверхностной плотностью , то массу пластинки находят по формуле

. (6)

Пример 1: С помощью двойного интеграла вычислить площадь области, ограниченной линиями y = x² - 1 и y = 2.

Решение: Построим область D.. Граница y = x² – 1 - парабола, ось которой совпадает с осью Oy, а вершина расположена в точке (-1, 0). Граница y = 2 – прямая, параллельная оси Ox. Область D симметрична относительно оси Oy, поэтому найдем площадь правой половинки области S₁, а затем удвоим ее.

-1 0 1 x

Pис. 3.

Спроектируем область D на ось Oy и воспользуемся для вычисления

двойного интеграла формулой (13):

Тогда площадь всей области D равна S = 2S₁=4 .

Ответ: S = 4 .

Пример 2. Вычислить площадь плоской области, ограниченной кривой .

Решение: Введем полярные координаты (14), тогда уравнение кривой примет вид или .

Область D показана на рис. 4.

r=2acos³j

Рис. 4.

Эта область симметрична относительно оси, поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить. Для верхней половины угол j меняется от 0 до p / 2, а r меняется от 0 до ,

поэтомy

Ответ: Площадь всей области (кв.ед.).

Пример 3: С помощью двойного интеграла вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями , , с заданной плотностью .

Решение: Построим область D (рис.6).

Рис. 5

Эта область ограничена двумя параболами. Проекцией области на ось Ох является отрезок [ 0; 1 ]. Массу пластинки найдем по формуле (17), вычисляя

двойной интеграл по формуле (1):

Ответ: ед. массы.

Пример 4. Вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями

Поверхностная плотность

Решение: Построим область D. Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (2; 0) и радиусом 2. Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом 3. Уравнения задают прямые линии (см. рис.6).