Практическое занятие № 2
Тема: Основы методики рационального планирования эксперимента.
Цель работы: Изучить методику рационального планирования эксперимента при проведении научных исследований.
ЗАДАНИЕ
Изучить:
1. Основы методики рационального планирования эксперимента.
1.1. Цель и задачи планирования эксперимента.
1.2. Основные принципы оптимального планирования эксперимента.
1.2.1. Сбор информации.
1.2.2. Проведение и статистическая оценка результатов эксперимента.
ОТЧЕТ
Описать методику рационального планирования экспериментов и спланировать эксперимент в соответствии с темой диссертационной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Завалишин Ф.С., Мацнев М.Г. Методы исследований по механизации сельскохозяйственного производства. - М: Колос, 1982.-231 с.
2. Винарский М.С., Лурье М.В. Планирование эксперимента в технологических исследованиях. – К.: Техника, 1975. – 168 с.
3. Практикум по мелиоративным машинам. Под. ред. Мера И.И. – М.: Колос, 1984. – 192 с.
4. Хайлис Г.А. Ковалёв М.М. Исследования сельскохозяйственной техники и обрботка опытных данных. - М.: Колос, 1994. - 169с.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическому занятию № 2
Методика рационального планирования эксперимента
Истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древность и связаны с числовой мистикой, пророчествами и суевериями. Это практически не планирование физического эксперимента, а планирование числового эксперимента – расположение чисел так, чтобы выполнялись некоторые строгие условия, например, на равенство сумм по строкам, столбцам и диагоналям квадратной таблицы, клеточки которой заполнены числами натурального ряда. Такие условия выполняются в магических квадратах, которым принадлежит первенство в планировании эксперимента. Согласно одной легенде примерно в 2200 г. до н.э. китайский император Ю выполнял мистические вычисления с помощью магического квадрата, который был изображен на панцире божественной черепахи. Клетки этого квадрата заполнены числами от 1 до 9, и суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям равны 15. В 1514 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер изобразил магический квадрат в правом углу своей знаменитой гравюрыаллегории «Меланхолия». Два числа в нижнем горизонтальном ряду A5 и 14 составляют год создания гравюры. В этом состояло своеобразное «приложение» магического квадрата.
В настоящее время магические квадраты используются при планировании эксперимента в условиях линейного дрейфа, планировании экономических расчетов и составлении рационов питания, в теории кодирования.
Построение магических квадратов является задачей комбинаторного анализа, основы которого в его современном понимании заложены Г. Лейбницем.
Возникновение современных статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р. Фишера. С 1918 г. он начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 г. появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению.
Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ (Фишеру принадлежит и термин «дисперсия»). Фишер создал основы этого метода, описав полные классификации дисперсионного анализа (однофакторный и многофакторный эксперименты) и неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал латинские квадраты и блок-схемы. Вместе с Ф. Йетсом он описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов.
Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого в 1946–1947 гг. Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы X. Манна (1947–1950 гг.).
Исследования Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами по агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йегс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.
В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.
В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента.
На современном этапе развития планированием эксперимента является выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
Началом экспериментального исследования является сбор, изучение и анализ всех имеющихся данных об объекте. Априорная информация может быть скупой или обширной, но именно она является той базой, на которой строятся первые шаги исследования. В результате проведения предварительного этапа (априорного) исследователь должен:
1. Составить полный список факторов, исходя из того, что лучше назвать несколько малозначащих факторов, чем пропустить один существенный значимый.
2. Задать ориентировочные приделы изменения факторов с учётом требований их совместимости (процесс может быть реализован при этих сочетаниях пределов).
3. Выбрать параметры оптимизации в соответствии с поставленной задачей.
Если список факторов большой (более 7), необходимо выполнить отсеивание малозначащих факторов. На этом завершается предварительная подготовка к эксперименту.
В соответствии с идеей шагового поиска эксперимент проводится в несколько этапов. Число этапов и действия на каждом из них зависят от результатов предыдущего этапа и конечной цели исследования.
Всё многообразие конечных целей исследования можно обобщённо разделить на 2 типа:
1. Найти адекватное описание функций отклика в заданной части факторного пространства.
2. Найти оптимальные условия протекания процесса.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о её адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости – Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой имеем лишь общее представление. Величина Y называется «отклик», а сама зависимость Y=F(Х1, Х2, …, Хn) – «функция отклика».
Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода.
Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные – только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию отклика), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.
Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n > 3 – гиперкуб.
При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость – контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах. Для каждого из факторов указывают граничные значения:
Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии:
где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:
– планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
– планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами; – планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
– планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
– планирование при изучении динамических процессов.
Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера.
В нашей стране – в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и других. В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT.