Построение эпюры поперечных сил и установление характера и величины нагрузок, приложенных к балке

По заданной эпюре изгибающих моментов изображённой на рисунке (1.5.1) построить эпюру поперечных сил используя дифференциальные зависимости между силовыми факторами, и установить характер и величины нагрузок, приложенных к балке (M,F и q). Ординаты эпюры моментов , , подсчитать по исходным данным ( из исходных данных). На некоторых участках балок эпюры изгибающих моментов изменяются по закону квадратичной параболы. Точкой D отмечена вершина параболы. В сечениях А и В балка шарнирно закреплена. Считать, что распределённые внешние моменты отсутствуют, есть только сосредоточенные моменты.

Дано: ; ; ; ; F=19 кН; q= 5 кН/м; m= 5 кНм/м; M= 19 кНм; а = 2 м.

 

 

	bql2

 

aql2

А

gql2

С

 

	В

а

				l

 

 

Q,кН

б 0 0

 

 

 

Yв

F

m3

m2

Ya

m1

q

 

в

 

 

Рисунок 1.5.1 – Эпюра изгибающих моментов.

а – эпюра изгибающих моментов; б – эпюра поперечных сил; в – схема нагружения.

 

Решение.

 

(1.5.1)

 

(1.5.2)

 

(1.5.3)

 

(1.5.4)

 

(1.5.5)

 

(1.5.6)

 

Определяем моменты:

 

(1.5.7)

 

 

(1.5.8)

 

 

(1.5.9)

 

Найдем силу F, приложенную в точке С:

 

(1.5.10)

 

 

Определим поперечные силы:

 

(1.5.11)

 

 

 

(1.5.12)

 

 

Растяжение и сжатие

 

2.1 Проверочный расчёт на прочность
статически неопределимого ступенчатого бруса

 

 

Ступенчатый брус, состоящий из стальных и медных частей рисунок (2.1.1), на­гружен внешними силами в соответствии с заданной схемой. Модули упругости материалов: стали -Е_ст=2-10⁵ МПа, медного сплава - Е_м=1-10⁵ МПа; температурные коэффициенты линейного расшире­ния: стали - а_ст= 125-10^-71/град, меди - а_м= 165-10^-71/град. Коэффициент запаса прочности по преде­лу текучести - S_т=1,5, по пределу прочности -s_B=2.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений; проверить проч­ность бруса; определить на сколько градусов нужно нагреть или охладить брус, чтобы при задан­ных нагрузках реакция "лишней" связи равнялась нулю.

Дано: ; ; ; ; ; Предел текучести - ; предел прочности - ; ; .

 

Решение.

1. В предположении, что при действии на стержень продольных сил он растянется и зазор перекрывается. Отбросив опоры, заменяем их действие реакциями R1 и R₂.

2. Составим уравнение равновесия.

3. Сечениями, где приложены внешние силы, стержень разбивается на участки, в пределах ко­торых продольные силы постоянны. Рассекая каждый участок и рассматривая равновесие отсечен­ной части стержня, определяем величины продольных сил.

4. Составляем уравнение, выражающие условие совместности деформации.

5. Определяем реакции опор, внутренние силы, напряжения. Если конструкция прочная, то на­ходим удлинение стержня.

Построив график изменения продольной силы по длине стержня, получим эпюру продольных сил на каждом участке.

1. В предположении, что при действии на стержень продольных сил он растянется и зазор А перекрывается. Отбросив опоры, заменим их действие реакциями R1 и R_2. Схема сил показана на рисунке 2.1.1,б.

2. Уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на ось Z)

(2.1.1)

Имеем одно уравнение равновесия и две неизвестных силы (R₁ и R₂), поэтому система один раз статически неопределима.

Δ

l3

l2

l3

 

ст А

F2 ст А

а

	R1			F1 м			Z

 

58,83

17,65

σ,МПа

N,кН

182,35

117,65

17,65

ст

F2 ст

б

 

в

 

г

 

182,35

 

Рисунок 2.1.1 – а- схема нагружения стержня; б – схема, иллюстрирующая определение продольной силы в сечениях; в – эпюра продольных сил; г – эпюра нормальных напряжений.

 

3. Сечениями, где приложены силы, стержень разбивается на три участка, в пределах которых продольная сила постоянная, поэтому для определения ее значений нужно рассечь каждый участок и из условия равновесия отсеченной части, определить величину продольной силы.

 

(2.1.2)

(2.1.3)

 

(2.1.4)

 

4. Условие совместности перемещений.

 

(2.1.5)

 

Распишем его и получим:

(2.1.6)

 

Выразим R_2.

(2.1.7)

 

Продольные силы по участкам:

 

 

 

 

Строим эпюру продольных сил (рисунок 2.1.1в).

5. По формуле определяем нормальные напряжения:

 

,

(2.1.8)

 

где N_i- продольная сила на i-том участке, кН;

A_i - площадь поперечного сечения на i-том участке, см².

 

 

 

 

 

6. Допускаемые напряжения и проверка прочности:

 

 

 

Сравнивая расчетные напряжения по участкам с допускаемыми, находим, что стер­жень отвечает условию прочности.

7. Определим удлинения участков и построим эпюру перемещений сечений стержня.

 

 

,

(2.1.9)

 

 

 

 

 

Сумма удли­нений всех участков:

 

(2.1.10)

 

 

 

Сумма удли­нений всех участков равна исходному зазору, то есть задача решена правильно.

 

2.2. Расчёт статически неопределимой стержневой конструкции

 

Абсолютно жесткий брус (рисунок 2.2.1), имеющий одну шарнирно неподвижную опору и при­крепленный двумя тягами из упругопластического материала, нагружен силой F. Площадь попе­речного сечения стержней A1, A₂, модуль упругости и предел текучести материала стержней МПа,

= 240 МПа. Допускаемое напряжение , где S_T коэффициент запаса прочности, S_T =1,5. Принять стержни 1- круглым, 2- квадратным. Определить угол поворота бруса.

Дано: а=1,8м, b=0,6м, h=1,2м, F=100кН, отношение площадей поперечного сечения стержней , .

Решение.

1. Рассматриваемые конструкции статически неопределимые и усилия в стержнях могут быть найдены из уравнений равновесия системы сил, приложенных к телу, равновесие которого рассматривается и дополнительных уравнений, полученных из рассмотрения деформированного состояния системы.

2. Рассматривая равновесие недеформируемого бруса, следует освободить его от наложен­ных связей и составить уравнение равновесия, содержащие неизвестные усилия в стержнях.

3. Составить дополнительные уравнения из условия совместности деформаций, решение которых совместно с уравнениями равновесия, позволит определить неизвестные силы.

4.Размеры поперечных сечений стержней определяются из условия прочности на растяжение (сжатие):

 

,

(2.2.1)

 

где - допускаемое напряжение, МПа.

 

Отсюда:

 

,

(2.2.2)

 

 

Выбор размеров сечений должен отвечать как условию прочности, так и заданному соотношению площадей поперечных сечений. Получив расчетное значение Ai можно определить размеры круглого и квадратного стержней:

 

,

(2.2.3)

 

,

(2.2.4)

 

где d – диаметр круглого стержня, мм;

а – сторона квадратного стержня, мм.

 

 

5. Абсолютные удлинения (укорочения) стержней определяют по формуле закона Гука:

 

,

(2.2.5)

 

где Ni - усиление в -ом стержне, кН;

- его длина, м;

Е - модуль упругости первого рода, МПа;

- площадь поперечного сечения, мм².

 

 

6. Угол поворота можно определить, рассматривая положение бруса до нагружения и после нагружения силой F.

 

 

а

 

 

N1

Yd

N2

Z

F

б

 

M1

C

D

Δl1

M

C1

 

 

в

 

Рисунок 2.2.1 – а) – схема конструкции; б)- система сил, действующих на брус; в) - деформированное состояние системы.

 

Найти усилия в стержнях, реакции в опоре D и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. D), как функции от величины силы F. Для определения величин усилий в стержнях в зависимости от F применим метод сечений. Сделав сечение по всем стержням, и приложив в местах сечений усилия N 1 и N 2, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие оставшейся части, нагруженной продоль­ными усилиями в стержнях N₁ и N₂ реакциями опоры D (X_D и Y_D) и силой F (рисунок 2.2.1, б). Со­ставив уравнения равновесия статики для рассматриваемой части, получим:

 

,

(2.2.6)

Из уравнений равновесия видно, что система дважды статически неопределима, так как три уравнения равновесия содержат в своем составе пять неизвестных. Поэтому для решения задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности деформаций, которые позво­лят статическую неопределимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим деформированное состояние системы (рисунок 2.2.1,в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации стержней останется прямолинейным. Эти дополнительные уравнения совместности деформаций получим из подобия треугольников: СС₁D~M₁MD.

 

(2.2.7)

 

(2.2.8)

 

(2.2.9)

 

(2.2.10)

 

(2.2.11)

 

(2.2.12)

 

	(2.2.13)
	(2.2.14)

 

(2.2.15)

 

(2.2.16)

 

 

Подставив найденное значения N₂ в третье уравнение, определяем величину.

 

(2.2.17)

 

 

(2.2.18)

 

 

После определения величин усилий в стержнях N ₁, N ₂ и реакции Y_D необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики:

-246-30+276=0

Следовательно, N₁определено правильно.

Угловое смещение бруса (угол ), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса:

(2.2.19)

 

Определить размеры поперечных сечений из условия прочности можно путем сравнения наи­больших напряжений с допускаемыми. Для этого найдем значение напряжений в долях площади поперечного сечения стержня 1:

 

,

(2.2.20)

 

 

,

(2.2.21)

 

,

 

Допускаемое напряжение:

,

(2.2.22)

 

,

 

Полученные величины напряжений показывают, что в стержне 2 оно наибольшее. Поэтому, прирав­няв напряжение к допускаемому напряжению , определим величину А₁и А₂.

,

 

,

 

Размер поперечного сечения стержня 1:

,

 

Размер поперечного сечения стержня 2:

,

 

,

 

 

Кручение

Кручение вала

К стальному валу приложены три известных момента: , m₂, m₃ (рисунок 3.3.1). Требуется: 1) из условия равновесия вала найти значение момента x; 2) построить эпюру кру­тящих моментов; 3) из расчета на прочность определить диаметры вала сплошного и кольцевого поперечного сечения при заданном отношении внутреннего диаметра к наружному d; 5) выбрать вал рационального поперечного сечения; 6) для выбранного вала построить эпюру углов закручива­ния, вычислить наибольший относительный угол закручивания и дать заключение о жесткости, если = 1 град/м.

Дано: , , , , , , , допускаемое касательное напряжение , допускаемый угол закручивания вала .

 

Решение.

1.Построим эпюры крутящих моментов и определим положение опасного сечения. Крутящий момент в произвольном сечении вала определяется как алгебраическая сумма всех моментов, расположен­ных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

2.Определим диаметр вала из расчета на прочность:

,

(3.1.1)

 

где T_max - наибольший крутящий момент по длине вала, Нмм;

W_p- полярный момент сопротивления, .

 

,

(3.1.2)

 

 

,

(3.1.3)

3.Округлим диаметры вала в соответствии с ГОСТ и подсчитаем недонапряжение или пере­напряжение в процентах.

4.Построим эпюру углов закручивания и определим угол закручивания на длине вала. Угол закручивания вала определяют по формуле:

,

(3.1.4)

где крутящий момент на участке вала, Нмм;

- длина участка, мм;

G - модуль упругости материала вала, для стали ;

- полярный момент инерции, .

,

(3.1.5)

Суммарный угол закручивания вала, имеющего несколько участков, определяется как алгебраическая сумма углов закручивания этих участков вала.

5. Найдем наибольший относительный угол закручивания (в градусах на метр длины вала).

а

 

		T,кНм

 

б

	1,5
				0,1

 

 

0,078

φ,рад

в

 

 

Рисунок 3.1.1- Кручение вала – а) – схема нагружения; б) – эпюра крутящих моментов; в) – эпюра углов закручивания.

 

 

Из условия равновесия находим значение момента x.

 

(3.1.6)

 

 

Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты по участкам вала:

(3.1.7)

 

	(3.1.8)

 

 

(3.1.9)

 

 

 

Строим эпюру крутящих моментов (рисунок 3.1.1б).

По условию прочности вычисляем требуемый диаметр вала при Т_тах=1,6кНм. Сплошное сечение.

 

Находим площадь поперечного сечения по формуле:

 

,

(3.1.10)

 

 

Кольцевое сечение:

 

 

Площадь кольцевого сечения:

 

 

Сравнивая площади поперечных сечений 1852 < 2205, выбираем вал кольцевого поперечного сечения. Вычисляем полярные моменты инерции и сопротивления:

 

 

 

Максимальные напряжения в наиболее нагруженных сечениях вала:

 

Перегрузка вала составляет: